Олимпиада «Физтех»
11 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г.
25 задач
Задача 2
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 3; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 1
Вписанная в прямоугольный треугольник окружность делит точкой касания один из катетов на отрезки длины $6$ и $7$. Найдите длину гипотенузы.
Ответ:
Решение:
Задача 3
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 4; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 3
Строки клетчатой доски $1001\times2012$ пронумерованы от $1$ до $1001$ снизу вверх, а столбцы пронумерованы от $1$ до $2012$ слева направо. Змейка начинает ползти из левой нижней клетки доски направо. Змейка не может выходить за пределы доски и посещать одну клетку более одного раза. Если змейка не может продолжить движение, она поворачивает налево и далее следует по прямой. Таким образом, змейка пройдёт доску по спирали, побывав в каждой клетке ровно по одному разу. Найдите сумму номеров строки и столбца клетки, в которой змейка закончит движение.
Ответ:
Решение:
Задача 4
Дана четырёхугольная пирамида $SABCD$, основание которой — прямоугольник $ABCD$. Известно, что $SB\perp ABC$, $AS=\sqrt{3}$, $SD=\sqrt{7}$, а $\angle SAB=30^\circ$. Найдите периметр $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Задача 5
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 5; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 4
Найдите наименьшее значение параметра $a$, при котором уравнения \[ 5x^2-11x+2=0 \quad\text{и}\quad 2x^2-(a+2)x+a=0 \] имеют общий корень.
Ответ:
Решение:
Задача 6
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 9
Вершины треугольника делят описанную вокруг него окружность на три дуги. Длины отрезков, соединяющих середины двух из этих дуг с серединами хорд, стягивающих эти дуги, равны $2$ и $9$. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен $17$.
Ответ:
Решение:
Задача 7
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 8; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 7
Маша и Саша делят между собой ягоды, собранные ими в лесу. Вначале Маша берёт $15$ ягод, далее дети берут ягоды по очереди, причём каждый берёт ровно на одну ягоду больше, чем предыдущий. Если количество ягод, которое ребёнок должен взять, превышает количество ягод в куче, он берёт все оставшиеся ягоды. В конце дележа у Маши оказалось $1012$ ягод. Сколько ягод было в куче?
Ответ:
Решение:
Задача 8
Площади оснований усечённой пирамиды равны $12$ и $75$, а высота равна $21$. Найдите её объём.
Ответ:
Решение:
Задача 9
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 9; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 8
«Жигули» и «Москвич» одновременно выехали из посёлка А в город Б. Через $15$ минут «Жигулям» оставалось доехать до города Б $40$ км, а «Москвичу» — $50$ км. Через сколько минут после «Жигулей» приехал в город Б «Москвич», если скорость «Москвича» составляет $60\%$ от скорости «Жигулей»?
Ответ:
Решение:
Задача 10
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 10; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 10
Какое количество натуральных чисел $a$ обладает следующим свойством: «Наименьшее общее кратное чисел $16$, $50$ и $a$ равняется $1200$»?
Ответ:
Решение:
Задача 11
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 11; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 11
Пропускная способность большой трубы на $9$ м$^3$/ч больше, чем маленькой трубы. Известно, что $16$ маленьких труб могут наполнить бассейн на пять часов быстрее, чем одна большая труба. Найдите, какой наименьший объём (в кубических метрах) может быть у бассейна.
Ответ:
Решение:
Задача 12
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 12; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 12
Найдите число $\overline{ab}$, если известно, что число \[ \underbrace{2011\ldots2011}_{101\text{ раз}}a2011b\underbrace{2011\ldots2011}_{101\text{ раз}} \] делится на $99$.
Ответ:
Решение:
Задача 13
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 13
Дан треугольник $ABC$, у которого высота, проведённая к стороне $BC$, в два раза меньше этой стороны, а высота, проведённая к стороне $AC$, в $32$ раза меньше этой стороны. Найдите синус угла $C$.
Ответ:
Решение:
Задача 14
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 13; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 14
В выходные дни в метро пассажиропоток уменьшается на $70\%$, а интервал между поездами увеличивается на $60\%$. На сколько процентов среднее количество человек в вагоне метро в выходные дни меньше, чем в рабочие дни?
Ответ:
Решение:
Задача 15
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 14; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 15
Семь натуральных чисел выписаны в ряд. Каждое число, начиная с третьего, равняется сумме двух предыдущих чисел. Какое максимально возможное значение может принимать первое число, если последнее равняется $2012$?
Ответ:
Решение:
Задача 16
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 16
Известно, что сумма первых $12$ членов геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел, равна $3003$, а сумма обратных величин первых $12$ членов этой прогрессии равна $1001$. Найдите произведение первых $12$ членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Задача 17
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 16; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 18
Ответ:
Решение:
Задача 18
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 19
Фигура, заданная на координатной плоскости двойным неравенством $0\leqslant x^2+y^2-4y\leqslant10$, разрезается линиями, задаваемыми уравнением $(x+2-y)\bigl(\sqrt{3}ax+y-2\bigr)=0$, на несколько частей. Найдите наибольшее число $a$, при котором площадь наименьшей части относится к площади наибольшей части как $5:7$.
Ответ:
Решение:
Задача 19
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 17; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 20
Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на $21$ равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбит на $441$ треугольничков. Назовём цепочкой последовательность треугольничков, в которой ни один треугольничек не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в такой цепочке?
Ответ:
Решение:
Задача 20
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 18; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 21
Прямоугольник, составленный из одинаковых квадратных клеток, назовём чётным, если он содержит чётное число клеток.
Из одинаковых квадратных клеток составлен прямоугольник длиной $9$ клеток и шириной $4$ клетки. Сколько в нём содержится чётных прямоугольников?
Из одинаковых квадратных клеток составлен прямоугольник длиной $9$ клеток и шириной $4$ клетки. Сколько в нём содержится чётных прямоугольников?
Ответ:
Решение:
Задача 21
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 19; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 22
Натуральные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[ \begin{cases} ab+bc+ca+1{,}5(a+b+c)=7039,\\ 2abc-a-b-c=2008. \end{cases} \] Найдите наименьшее значение $a+b+c$.
Ответ:
Решение:
Задача 22
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 24
Внутри треугольника $ABC$ расположены такие точки $D$, $E$ и $F$, что точка $D$ лежит на отрезке $AE$, точка $E$ лежит на отрезке $BF$, а точка $F$ лежит на отрезке $CD$. Известно, что центр окружности $\Omega$, описанной вокруг треугольника $ABC$, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник $DEF$. Также дано, что $\angle DEF=90^\circ$, $DE/EF=5/3$, радиус окружности $\Omega$ равен $6$, а отношение площадей $S_{ABC}/S_{DEF}=12{,}8$. Найдите $DF$.
Ответ:
Решение:
Задача 23
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ и прямой круговой цилиндр $Z$ высоты $17$, основания которого ограничивают окружности $\omega_1$ и $\omega_2$. Известно, что вершины $A$ и $B$ лежат на окружности $\omega_1$, вершины $C$ и $D$ — на окружности $\omega_2$, а вершина $S$ — на боковой поверхности цилиндра $Z$ и удалена от плоскости окружности $\omega_2$ на расстояние $10$. Найдите квадрат радиуса цилиндра.
Ответ:
Решение:
Задача 24
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 20; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2011/12 уч. г., задача 25
Сколькими способами можно выложить в ряд три красных, четыре синих и пять зелёных шаров так, чтобы никакие два синих шара не лежали рядом?
Ответ:
Решение:
Задача 25
При каком наименьшем натуральном $n\gt 1$ верно утверждение: из любых $n$ натуральных чисел можно выбрать два, разность квадратов которых делится на $399$?
Ответ:
Решение: