Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно так, что $\angle MNB=\angle ANC=80^\circ$. Найдите $\angle CAN$, если известно, что $BN\cdot MA=2BM\cdot NC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AP$ и $CQ$. Пусть $M$ и $T$ — соответственно середины сторон $AC$ и $AB$. Известно, что $\angle PBQ=\angle PMQ$. Найдите $QT$, если $AB=3$, $BC=5$.
Ответ:
Решение:
Треугольник $ABC$ вписан в окружность радиуса $R$, а $P$ — точка пересечения его биссектрис. Известно, что площадь треугольника $APC$ и площадь четырёхугольника $PFBE$ равны (см. рисунок). Найдите наибольшее значение произведения $AB\cdot BC$, если $\angle ABC=\beta$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $CE$, которые пересекаются в точке $H$. Вокруг треугольника $DHE$ описана окружность $\omega$. Касательные к $\omega$ в точках $D$ и $E$ пересекаются в точке $K$. Найдите длину отрезка $AK$, если радиус $\omega$ равен $10$ и $\angle ABC=60^\circ$.
Ответ:
Решение:
$CH$ — высота остроугольного треугольника $ABC$, вписанного в окружность с центром $O$, а $AC\gt BC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если площадь треугольника $AOC$ равна $10$, а площадь треугольника $AOH$ равна $12$.
Ответ:
Решение:
В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность. Длины её боковых сторон $AB$ и $CD$ равны соответственно $3$ и $5$, а длина основания $AD$ больше длины $BC$. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно $5/11$. Найдите радиус вписанной в трапецию окружности и длины её диагоналей.
Ответ:
Решение:
Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, пересекаются в точке $P$. Известно, что расстояния от точки $P$ до сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ равны $4$, $\sqrt3$, $\frac{8}{\sqrt{19}}$ и $8\sqrt{\frac{3}{19}}$ соответственно (основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на стороны, лежат на этих сторонах).
а) Найдите отношение $AP:PC$.
б) Найдите длину диагонали $BD$, если дополнительно известно, что $AC=10$.
а) Найдите отношение $AP:PC$.
б) Найдите длину диагонали $BD$, если дополнительно известно, что $AC=10$.
Ответ:
Решение:
В окружность $\Omega$ радиуса 13 вписаны трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$) и прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$ таким образом, что $AC\perp B_1D_1$, $BD\perp A_1C_1$. Найдите отношение площади $ABCD$ к площади $A_1B_1C_1D_1$, если известно, что $AD=10$, $BC=24$.
Ответ:
Решение:
В окружность $\Omega$ радиуса 10 вписаны трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$) и прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$ таким образом, что $AC\parallel B_1D_1$, $BD\parallel A_1C_1$. Найдите отношение площадей $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, если известно, что $AD=16$, $BC=12$.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольнике $ABCD$, вписанном в окружность, известно, что $AB=48$, $BC=60$, $CD=24$, $AD=12$. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, а прямые $AD$ и $BC$ — в точке $F$. Найдите квадрат длины отрезка $EF$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с диаметром $AB$, а $H$ — ортогональная проекция точки $D$ на $AB$. Диагональ $AC$ пересекает отрезок $DH$ в точке $X$. Найдите $CD$, если $DX=20$, $AX=15$, $CX=36$.
Ответ:
Решение:
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ является диаметром, а $AB=BD$. Известно, что радиус его описанной окружности равен 5, а расстояние от вершины $C$ до точки пересечения диагоналей равно 1. Найдите косинус угла $ABD$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega$, а его диагональ $AC$ — биссектриса угла $BAD$. Найдите радиус окружности $\omega$, если $AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $AC=\dfrac{3}{2}$, $AD=\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$. Ответ округлите до третьего знака после запятой.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольник $ABCD$ можно вписать окружность. Пусть точка $I$ — центр этой окружности. Прямые $a_C$ и $a_D$, проведённые соответственно через точку $C$ параллельно $BI$ и через точку $D$ параллельно $AI$, пересекаются в точке $P$. Найдите $\angle DPI$, если $\angle BCD=100^\circ$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Две окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$ равных радиусов с центрами $O_1$ и $O_2$ вписаны в углы $BAD$ и $BCD$ соответственно, при этом первая касается стороны $AD$ в точке $K$, а вторая касается стороны $BC$ в точке $T$.
а) Найдите радиус окружности $\Omega_1$, если $AK=2$, $CT=8$.
б) Пусть дополнительно известно, что точка $O_2$ является центром окружности, описанной около треугольника $BOC$. Найдите угол $BDC$.
а) Найдите радиус окружности $\Omega_1$, если $AK=2$, $CT=8$.
б) Пусть дополнительно известно, что точка $O_2$ является центром окружности, описанной около треугольника $BOC$. Найдите угол $BDC$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Две окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$ равных радиусов с центрами $O_1$ и $O_2$ вписаны в углы $ABC$ и $ADC$ соответственно, при этом первая касается стороны $BC$ в точке $K$, а вторая касается стороны $AD$ в точке $T$.
а) Найдите радиус окружности $\Omega_1$, если $BK=3\sqrt{3}$, $DT=\sqrt{3}$.
б) Пусть дополнительно известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $BOC$. Найдите угол $BDC$.
а) Найдите радиус окружности $\Omega_1$, если $BK=3\sqrt{3}$, $DT=\sqrt{3}$.
б) Пусть дополнительно известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $BOC$. Найдите угол $BDC$.
Ответ:
Решение:
Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $Q$. Известно, что треугольники $ADP$ и $QAB$ подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке), а четырёхугольник $ABCD$ можно вписать в окружность радиуса 7.
а) Найдите $AC$.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, касаются отрезка $AC$ в точках $K$ и $T$ соответственно, причём $CK:KT:TA=6:1:7$ (точка $T$ лежит между $K$ и $A$). Найдите $\angle DAC$ и площадь четырёхугольника $ABCD$.
а) Найдите $AC$.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, касаются отрезка $AC$ в точках $K$ и $T$ соответственно, причём $CK:KT:TA=6:1:7$ (точка $T$ лежит между $K$ и $A$). Найдите $\angle DAC$ и площадь четырёхугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $7$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $Q$. Известно, что треугольники $ADP$ и $QAB$ подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке).
а) Найдите $AC$.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, касаются отрезка $AC$ в точках $K$ и $T$ соответственно, причём $CK:KT:TA=6:1:7$ (точка $T$ лежит между $K$ и $A$). Найдите $\angle DAC$ и площадь четырёхугольника $ABCD$.
а) Найдите $AC$.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, касаются отрезка $AC$ в точках $K$ и $T$ соответственно, причём $CK:KT:TA=6:1:7$ (точка $T$ лежит между $K$ и $A$). Найдите $\angle DAC$ и площадь четырёхугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение:
В окружность вписан четырёхугольник $KLMN$ с диагоналями $KM$ и $LN$, которые пересекаются в точке $T$. Основания перпендикуляров, опущенных из точки $T$ на стороны четырёхугольника, лежат на этих сторонах. Расстояния от точки $T$ до сторон $KL$, $LM$, $MN$, $NK$ равны $4\sqrt2$, $\sqrt2$, $\frac{8}{\sqrt{17}}$ и $\frac{8}{\sqrt{17}}$ соответственно.
а) Найдите отношение $KT:TM$.
б) Найдите длину диагонали $LN$, если дополнительно известно, что $KM=10$.
а) Найдите отношение $KT:TM$.
б) Найдите длину диагонали $LN$, если дополнительно известно, что $KM=10$.
Ответ:
Решение:
Продолжение сторон $BC$ (за точку $C$) и $AD$ (за точку $D$) вписанного в окружность четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Центр $O$ окружности, вписанной в треугольник $ABE$, лежит на отрезке $CD$. Найдите наибольшее возможное значение суммы $ED+DO$, если известно, что $BE=12$.
Ответ:
Решение: