Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 313
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=2\sqrt{3}$, высота призмы равна $AA_1=\sqrt{73}$. На середине ребра $BB_1$ взята точка $K$, а на ребре $CC1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=2\sqrt{3}$, высота призмы равна $AA_1=6$. На середине ребра $BB_1$ взята точка $K$, а на ребре $CC1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:2$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=\sqrt{3}$, высота призмы равна $AA_1=\sqrt{37}$. На середине ребра $BB_1$ взята точка $K$, а на ребре $CC1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:2$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=2\sqrt{3}$, высота призмы равна $AA_1=4$. На середине ребра $BB_1$ взята точка $K$, а на ребре $CC1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:1$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=\sqrt{3}$, высота призмы равна $AA_1=2\sqrt{13}$. На середине ребра $BB_1$ взята точка $K$, а на ребре $CC1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:3$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=2$, высота призмы равна $AA_1=4$. На середине ребра $BB_1$ взята точка $K$, а на ребре $CC1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:3$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
На ребрах $BB_1$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взяты точка $K$ и $M$ соответственно, причём $BK:KB_1=2:1$ и $CM:MC_1=1:2$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
На ребрах $BB_1$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взяты точка $K$ и $M$ соответственно, причём $BK:KB_1=2:1$ и $CM:MC_1=1:4$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
На ребрах $BB_1$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взяты точка $K$ и $M$ соответственно, причём $BK:KB_1=3:1$ и $CM:MC_1=2:1$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ сторона основания $AB=4$, а боковое ребро $SA=7$. Точка $M$ лежит на ребре $BC$, причем $BM=1$, точка $K$ лежит на ребре $SC$, причем $SK=4$.
а) Докажите, что плоскость $MKD$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите объём пирамиды $CDKM$.
а) Докажите, что плоскость $MKD$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите объём пирамиды $CDKM$.
Ответ:
Решение:
В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ сторона основания $AB=7$, а боковое ребро $SA=10$. Точка $M$ лежит на ребре $BC$, причем $BM=4$, точка $K$ лежит на ребре $SC$, причем $SK=7$.
а) Докажите, что плоскость $MKD$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите объём пирамиды $CDKM$.
а) Докажите, что плоскость $MKD$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите объём пирамиды $CDKM$.
Ответ:
Решение:
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды $ABCDP$ ($P$ — вершина) равна $4\sqrt{2}$, а угол между соседними боковыми гранями равен $120^{\circ}$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ $BD$ основания параллельно боковому ребру $CP$.
Ответ:
Решение:
Через середину ребра $AB$ куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a$, проведена плоскость, параллельная прямым $BD_{1}$ и $A_{1}C_{1}$.
1) В каком отношении эта плоскость делит диагональ $DB_{1}$?
2) Найдите площадь полученного сечения.
1) В каком отношении эта плоскость делит диагональ $DB_{1}$?
2) Найдите площадь полученного сечения.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна 2, боковое ребро равно 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $BD$ и $AS$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина ребра $SA$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$. Точка $N$ лежит на ребре $SB$, $SN:NB=1:2$.
а) Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $CMN$, если все рёбра пирамиды равны 6.
а) Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $CMN$, если все рёбра пирамиды равны 6.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна $4$, боковое ребро равно $6$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $BD$ и $AS$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная треугольная пирамида $ABCD$ с вершиной $D$.
а) Докажите, что её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $AD$ и $BC$, — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между противоположными рёбрами, если сторона основания равна $6\sqrt{3}$, а боковое ребро равно 10.
а) Докажите, что её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $AD$ и $BC$, — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между противоположными рёбрами, если сторона основания равна $6\sqrt{3}$, а боковое ребро равно 10.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$.
а) Постройте её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $SA$ и $BC$.
б) Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $SC$, если сторона основания равна 30, а боковое ребро равно $5\sqrt{34}$.
а) Постройте её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $SA$ и $BC$.
б) Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $SC$, если сторона основания равна 30, а боковое ребро равно $5\sqrt{34}$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Все рёбра пирамиды равны $6$. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через середину ребра $SC$ и точку $A$ параллельно диагонали $BD$ основания.
Ответ:
Решение:
Основание правильной четырёхугольной пирамиды $MABCD$ — квадрат $ABCD$. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер $MA$ и $MB$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная ребру $MC$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна грани $CMD$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $MABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AM=12$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна грани $CMD$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $MABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AM=12$.
Ответ:
Решение: