Методами математического анализа доказать неравенство: $$2\cos\left(\pi\,x\right)\leqslant\log_2(x^2-4x+8).$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.
Ответ:
Решение:
Методами математического анализа доказать неравенство: $$3\cos\left(\frac{\pi\,x}{2}\right)\leqslant\sqrt{x^2-8x+25}$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.
Ответ:
Решение:
Методами математического анализа доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{x^4+4x^3+7x^2+6x+2}+3\geqslant\sqrt{-2x^2-4x+7}.$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.
Ответ:
Решение:
Методами математического анализа доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{4x+7-2x^2}\leqslant\sqrt{x^4-4x^3+6x^2-4x+10}.$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
а) Доказать неравенство (на естественной области определения): $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln 3}$.
б) Доказать неравенство для всех $x > 1$: $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln (x+1)}$.
б) Доказать неравенство для всех $x > 1$: $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln (x+1)}$.
Ответ:
Решение:
Доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{3-x}+\sqrt{x+1} \leqslant 1+2\sqrt2-\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$$
Ответ:
Решение:
Доказать неравенство (на естественной области определения): $$x \cdot \ln x^2 \geqslant 2 - 2e^{1-x}$$
Ответ:
Решение:
Точка $A$ лежит на параболе $y=x^2+1$, точка $B$ лежит на прямой $y=2x-5$. Найти наименьшую длину отрезка $AB$.
Ответ:
Решение:
Точка $A$ лежит на параболе $y=x^2-1$, точка $B$ лежит на прямой $y=4x-22$. Найти наименьшую длину отрезка $AB$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Если из круглого бревна диаметром $d$ вырезать балку с прямоугольным сечением, основание которого равно $b$, то предельная нагрузка, которую сможет выдержать эта балка (будучи опертой на концах и равномерно нагруженной), равна $P=kb(d^2-b^2)$, где $k$ — постоянная. Найти значение $b$, при котором балка обладает наибольшей прочностью.
Ответ:
Решение:
Площадь поперечного сечения специального трубопровода выражается формулой $S=a\sin\alpha(1+\cos\alpha)$, где $a$ — некоторая постоянная, а $\alpha$ — параметр, принимающий значения от $0$ до $\pi/2$. При каком значении $\alpha$ пропускная способность трубопровода будет наибольшей?
Ответ:
Решение:
Дальность полета $x$ шарика, скатившегося по кривому желобу с высоты $H$ до высоты $h$, вычисляется по формуле $x=2\sqrt {h(H-h)}$. При каком $h$ дальность $x$ полета будет наибольшей?
Ответ:
Решение:
Полная поверхность цилиндрической консервной банки заданного объема $V$ равна $S=2\pi r^2+2V/r$, где $r$ — радиус банки. Найти значение $r$, при котором на изготовление банки пойдет наименьшее количество материала.
Ответ:
Решение:
Затраты на 1 км рейса морского транспорта выражаются формулой $G=(a/V+bV^2)/1{,}85$, где $V$ — скорость транспорта (в узлах), $a$ и $b$ — положительные постоянные, зависящие от вида транспорта и стоимости топлива. Найти значение $V$, при котором затраты на рейс будут наименьшим.
Ответ:
Решение:
Если из квадратного листа жести со стороной $a$ вырезать по углам равным квадраты со стороной $x$ и, сгибая края, сделать прямоугольную открытую коробку, то ее объем будет равен $V=x(a-2x)^2$. При каком значении $x$ ее объем будет наибольшим?
Ответ:
Решение:
Если в электрическую цепь сопротивлением $R$ включен электронагревательный прибор сопротивлением $r$, то количество выделенного в нем тепла находится по формуле $Q=E^2 r/(R+r)^2$, где $E$ — постоянная ЭДС. При каком сопротивлении электронагревательного элемента в нем выделится наибольшее количество тепла?
Ответ:
Решение: