Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 258
Сфера, касающаяся нижнего основания цилиндра, имеет единственную общую точку с окружностью его верхнего основания и делит ось цилиндра в отношении $1:6:2$, считая от центра одного из оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается двух его образующих, находящихся на расстоянии $8$ друг от друга.
Ответ:
Решение:
В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ боковое ребро равно $\sqrt{14}$, длина стороны основания $ABCD$ призмы равна $6$. Окружность основания прямого кругового конуса вписана в треугольник $BC_1D$, а вершина конуса лежит в плоскости $ABC_1$. Найти объем конуса.
Ответ:
Решение:
В основании призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит прямоугольник $ABCD$. Острые углы $D_1DA$ и $D_1DC$ равны между собой, угол между ребром $D_1D$ и плоскостью основания призмы равен $\arccos\frac{1}{\sqrt{13}}$, а $CD=5\sqrt6$. Все грани призмы касаются некоторой сферы. Найти длину $BC$, угол между плоскостями $D_1DC$ и $ABC$, а также расстояние от точки $D$ до центра сферы.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $ABCD$ сторона основания $ABC$ равна $a$. Внутри пирамиды расположен конус, окружность основания которого вписана в треугольник $ACD$, а вершиной конуса является точка $O$, лежащая на высоте $BE$ треугольника $ABC$ так, что $BE:OB=3$. Найти радиус основания конуса и радиус шара, касающегося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой $B$.
Ответ:
Решение:
Внутри цилиндра лежат два шара радиуса $r$ и один шар радиуса $2r$ так, что каждый шар касается двух других, верхнего основания цилиндра и его боковой поверхности. Найти радиус основания цилиндра.
Ответ:
Решение:
Расстояние от центра $O$ шара радиуса 12, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, до бокового ребра равно $4\sqrt{2}$. Найти:
1) высоту пирамиды;
2) расстояние от точки $O$ до боковой грани пирамиды;
3) радиус вписанного в пирамиду шара.
1) высоту пирамиды;
2) расстояние от точки $O$ до боковой грани пирамиды;
3) радиус вписанного в пирамиду шара.
Ответ:
Решение:
Даны пирамида $ABCD$ и цилиндр. Окружность нижнего основания цилиндра вписана в грань $ABC$. Окружность верхнего основания цилиндра пересекает ребра $DA$, $DB$ и $DC$, а ее центр лежит на грани $ABD$. Радиус цилиндра равен 3, объем пирамиды $ABCD$ равен $27\sqrt{2}$, ребро $AB=24$. Найти двугранный угол между гранями $ABC$ и $ABD$ и радиус описанной около $ABCD$ сферы.
Ответ:
Решение:
Прямой круговой конус с вершиной $O$ имеет высоту 4 и образующую длины 5. Пирамида $ABCD$ вписана в конус так, что $A$ и $C$ принадлежат окружности основания, $B$ и $D$ принадлежат боковой поверхности, причем $B$ принадлежит образующей $OA$. Треугольники $OAC$ и $OBD$ равносторонние, причем $OB=3$. Найти объём пирамиды $ABCD$, двугранный угол при ребре $AB$ и радиус сферы, описанной около $ABCD$.
Ответ:
Решение:
В пирамиде $SABC$ каждый из углов $ASB$ и $ASC$ равен $\arccos\dfrac{1}{\sqrt5}$, угол $BSC$ прямой, ребро $SB$ равно $a$. Центр сферы, вписанной в пирамиду $SABC$, лежит на высоте $SD$. Найти $SA$, $SD$ и радиус сферы, вписанной в пирамиду $SABC$.
Ответ:
Решение:
Внутри конуса с вершиной $A$ и высотой 8 расположены сфера $S_1$ с центром $O_1$ радиуса 1 и сфера $S_2$ с центром $O_2$ радиуса $\dfrac14$, причём $O_1O_2=\dfrac32$. Сфера $S_1$ касается плоскости основания конуса в его центре $O$. Обе сферы $S_1$ и $S_2$ касаются образующей конуса $AB$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно. Прямые $O_1O_2$ и $AB$ пересекаются в точке $L$. Плоскость $\Pi$ касается обеих сфер и пересекает отрезок $A_1A_2$ в его середине $M$. Найти длины отрезков $A_1A_2$ и $O_2L$, а также расстояния от точек $L$ и $A$ до плоскости $\Pi$.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$, причём $AB=1$, $BC=2$. Пусть $N$ — середина $SB$, $M$ — середина $SC$, причём $BN=MC=3MN$. Каким может быть минимальный радиус сферы, описанной около пирамиды $SABCD$? Найти объём пирамиды $SABCD$, вписанной в эту сферу (минимального радиуса).
Ответ:
Решение:
Медиана $AM$ и биссектриса $CD$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle B=90^\circ$) пересекаются в точке $O$. Найти площадь треугольника $ABC$, если $CO=9$, $OD=5$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) биссектрисы $AM$ и $BK$ пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $BOM$ и $COM$ соответственно равны $25$ и $30$. Найти площадь треугольника $ABC$ и проекцию отрезка $OM$ на прямую $BC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $AC$ расположены точки $D$ и $E$ соответственно так, что $CD$ — биссектриса треугольника $ABC$, $DE$ — биссектриса треугольника $ACD$, $EC=ED=\frac49$, $BC=1$. Найти $CD$ и площадь $S$ треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Медиана $AE$ и биссектриса $CD$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) пересекаются в точке $M$. Прямая, проходящая через $M$ параллельно $AC$, пересекает $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Найти $MQ$ и радиус окружности, описанной около треугольника $PQB$, если $AC=4$, $\angle ACB=\mathrm{arctg}\,(2\sqrt{2})$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ таком, что $AB=BC=4$ и $AC=2$, проведены биссектриса $AA_1$, медиана $BB_1$ и высота $CC_1$. Найти площадь треугольника, образованного пересечением прямых:
1) $AC$, $AA_1$ и $CC_1$;
2) $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
1) $AC$, $AA_1$ и $CC_1$;
2) $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AE$ и $CD$. Найти длины отрезков $CD$, $CE$, $DE$ и расстояние между центрами окружностей, вписанной в треугольник $ABC$ и описанной около треугольника $ABC$, если $AC=2$, $BC=4$, $\angle ACB=\arccos\dfrac{11}{16}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ прямой, $AB=21$. Биссектриса угла $BAC$ и медиана $BP$ пересекаются в точке $O$. Окружность радиуса 3 с центром $O$ пересекает сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ ($K$ лежит между $A$ и $L$), пересекает сторону $AC$ в точках $M$ и $N$ ($M$ лежит между $A$ и $N$) и касается стороны $BC$ в точке $T$. Найти $AC$, угол $KON$, $AM$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медиана $BM=2$, угол $ABM$ равен $\operatorname{arctg}\dfrac23$, угол $CBM$ равен $\operatorname{arctg}\dfrac15$. Найти стороны $AB$, $BC$ и биссектрису $BE$ треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Четырехугольник, один из углов которого равен $\operatorname{arctg}(4/3)$, вписан в окружность радиуса $\sqrt6$ и описан около окружности радиуса 1. Найти площадь четырехугольника и угол между его диагоналями.
Ответ:
Решение: