Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 258
Окружность с центром на стороне $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) касается отрезка $AC$ в точке $F$, пересекает отрезок $BC$ в точке $G$, проходит через точку $B$ и пересекает отрезок $AB$ в точке $E$, причем $AE=a$, $\angle BFG=\gamma$. Найти радиус окружности.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ с центром в точке $O$ на стороне $AC$ треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Известно, что $AD=2CE$, а угол $DOE$ равен $\mathrm{arcctg}\,\dfrac13$. Найти углы треугольника $ABC$ и отношение его площади к площади круга, ограниченного окружностью $\omega$.
Ответ:
Решение:
Через центр $O$ окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$, проведена прямая, параллельная $BC$ и пересекающая стороны $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно. Окружность $\omega$ проходит через точки $B_1$, $C_1$ и касается $\Omega$ в точке $K$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BC$. Найти площадь треугольника $ABC$ и радиус окружности $\Omega$, если $B_1C_1=6$, $AK=6$, а расстояние между прямыми $BC$ и $B_1C_1$ равно 2.
Ответ:
Решение:
Треугольник $ABC$ вписан в окружность $O$ радиуса $R$, точки $K$, $L$ и $M$ — середины отрезков $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Окружности $O_1$, $O_2$ и $O_3$ проведены через точки $K$, $L$ и $M$ соответственно, касаются окружности $O$ и каждая имеет с треугольником $ABC$ единственную общую точку. Найти радиус окружности $O_3$, если радиусы окружностей $O_1$ и $O_2$ равны $\frac13R$ и $\frac14R$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ лежат внутри треугольника $ABC$, в котором $AB=BC=l$, $AC=2$, а радиус $\omega_1$ в два раза больше радиуса $\omega_2$. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются внешним образом, причём $\omega_1$ касается сторон $AB$ и $AC$, а $\omega_2$ — сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$. Найти радиус окружности $\omega_1$, если $l=6$. Найти все значения $l$, при которых существуют указанные окружности.
Ответ:
Решение:
Корни уравнения \[ x^3-\frac{32}{p}x^2+\frac{5}{\sqrt p}x-\frac{15}{64}=0 \] являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни уравнения \[ x^3-\frac13\left|\log_2p\right|x^2+\left(\log_{8\sqrt2p}p\right)x-\frac{1}{11+\sqrt p}=0 \] — длинами высот этого же треугольника. Найти $p$ и площадь треугольника.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $ABCD$ ребра $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, $AB=BD=AD=a$, середина ребра $AC$ равноудалена от плоскостей $ABD$ и $BCD$, угол между ребром $AC$ и гранью $CBD$ равен $\arcsin\frac{1}{\sqrt3}$. Найти длину ребра $CD$, угол $CAD$ и угол между ребром $BD$ и гранью $ACD$.
Ответ:
Решение:
Две противоположные боковые грани четырехугольной пирамиды $SABCD$ перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна $\sqrt5$. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ ($AD=BC$), описанная около окружности и такая, что $AB=6$, $\angle BAD=\frac{\pi}{3}$. Найти расстояние от точки $D$ до плоскости $SAB$.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник $SCD$, а вершина принадлежит грани $SAB$. Найти объем конуса.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник $SCD$, а вершина принадлежит грани $SAB$. Найти объем конуса.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABC$ правильной треугольной пирамиды $ABCD$ равна 6, двугранный угол между боковыми гранями пирамиды равен $\arccos\dfrac{7}{32}$. Точки $A_1$ и $B_1$ — середины рёбер $AD$ и $BD$ соответственно, $BC_1$ — высота в треугольнике $DBC$. Найти:
- угол между прямыми $AB$ и $B_1C_1$;
- площадь треугольника $A_1B_1C_1$;
- расстояние от точки $B$ до плоскости $A_1B_1C_1$;
- радиус вписанного в пирамиду $A_1B_1C_1D$ шара.
Ответ:
Решение:
Апофема правильной пирамиды $SABCD$ равна 2, боковое ребро образует с основанием $ABCD$ угол, равный $\mathrm{arctg}\sqrt{\dfrac{3}{2}}$. Точки $E$, $F$, $K$ выбраны соответственно на ребрах $AB$, $AD$ и $SC$ так, что $\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{SK}{KC}=\dfrac{1}{2}$. Найти:
1) площадь сечения пирамиды плоскостью $EFK$;
2) расстояние от точки $D$ до плоскости $EFK$;
3) угол между прямой $SD$ и плоскостью $EFK$.
1) площадь сечения пирамиды плоскостью $EFK$;
2) расстояние от точки $D$ до плоскости $EFK$;
3) угол между прямой $SD$ и плоскостью $EFK$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ ($S$ — вершина) $AB=3\sqrt2$, высота пирамиды равна $8$. Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку $A$, а другая — через точки $B$ и $D$, имеют равные площади. В каком отношении делят ребро $SC$ плоскости сечений? Найти расстояние между плоскостями сечений и объемы многогранников, на которые пирамида разбивается этими плоскостями.
Ответ:
Решение:
На ребре $AC$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ взята точка $K$ так, что $AK=\frac14$, $CK=\frac34$. Через точку $K$ проведена плоскость, образующая с плоскостью $ABC$ угол $\operatorname{arctg}\frac76$ и рассекающая призму на два многогранника, площади поверхностей которых равны. Найти объем призмы, если известно, что около одного из этих многогранников можно описать сферу, а около другого — нет.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$ через точку $A$ параллельно прямой $BD$ проведена плоскость $P$, образующая с прямой $AB$ угол, равный $\arcsin\frac{1}{2\sqrt2}$. Найти площадь сечения куба плоскостью $P$ и радиус шара, касающегося плоскости $P$ и граней $ABCD$, $BCC_1B_1$ и $DCC_1D_1$.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABC$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $6$, а высота равна $\frac{3}{\sqrt7}$. На ребрах $AC$, $A_1C_1$ и $BB_1$ расположены соответственно точки $P$, $F$ и $K$ так, что $AP=1$, $A_1F=3$ и $BK=KB_1$. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $P$, $F$ и $K$. Найти площадь сечения и угол между плоскостью основания призмы и плоскостью сечения.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABCD$ правильной пирамиды $SABCD$ равна $2$, высота пирамиды, опущенная на основание, равна $2\sqrt{2}$. На ребрах $SA$ и $SD$ расположены точки $E$ и $F$ так, что $AE=2ES$, $SF=5DF$. Через точки $E$ и $F$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная $CD$. Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды плоскостью $\alpha$;
2) радиус сферы с центром в точке $A$, касающейся плоскости $\alpha$;
3) угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $ABC$.
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды плоскостью $\alpha$;
2) радиус сферы с центром в точке $A$, касающейся плоскости $\alpha$;
3) угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $ABC$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $ABCD$ угол $ADC$ равен $2\arcsin\left(\dfrac{1}{6}\right)$, сторона основания $ABC$ равна $2$. Точки $K$, $M$, $N$ — середины ребер $AB$, $CD$, $AC$ соответственно. Точка $E$ лежит на отрезке $KM$ и $3ME=KE$. Через точку $E$ проходит плоскость $\pi$ перпендикулярно отрезку $KM$. В каком отношении плоскость $\pi$ делит ребра пирамиды? Найти площадь сечения пирамиды плоскостью $\pi$ и расстояние от точки $N$ до плоскости $\pi$.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABCD$ правильной пирамиды $SABCD$ равна 2. Плоскость $\alpha$, параллельная прямым $SC$ и $AD$, пересекает пирамиду так, что в сечение можно вписать окружность, причем периметр сечения равен $\dfrac{32}{5}$. Найти:
1) в каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребра пирамиды;
2) отношение объемов частей, на которые плоскость $\alpha$ разбивает пирамиду;
3) расстояние от центра описанной около пирамиды сферы до плоскости $\alpha$.
1) в каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребра пирамиды;
2) отношение объемов частей, на которые плоскость $\alpha$ разбивает пирамиду;
3) расстояние от центра описанной около пирамиды сферы до плоскости $\alpha$.
Ответ:
Решение:
Основание прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ — треугольник $ABC$, в котором $AB=BC=5$, $AC=6$. Высота призмы равна $\sqrt{6}$. На сторонах $AC$, $BC$ и $A_1C_1$ выбраны соответственно точки $D$, $E$ и $D_1$ так, что $DC=\dfrac{AC}{4}$, $BE=CE$, $A_1D_1=\dfrac{A_1C_1}{3}$, и через эти точки проведена плоскость $\Pi$. Найти:
1) площадь сечения призмы плоскостью $\Pi$;
2) угол между плоскостью $\Pi$ и плоскостью $ABC$;
3) расстояние от точек $C_1$ и $C$ до плоскости $\Pi$.
1) площадь сечения призмы плоскостью $\Pi$;
2) угол между плоскостью $\Pi$ и плоскостью $ABC$;
3) расстояние от точек $C_1$ и $C$ до плоскости $\Pi$.
Ответ:
Решение:
Задан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром длины 1. Найти:
а) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину $B_1$, середину ребра $AD$ и параллельной прямой $A_1C_1$;
б) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину $B_1$ и параллельной прямой $A_1C_1$, у которой площадь проекции сечения на плоскость $A_1C_1A$ максимальна.
а) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину $B_1$, середину ребра $AD$ и параллельной прямой $A_1C_1$;
б) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину $B_1$ и параллельной прямой $A_1C_1$, у которой площадь проекции сечения на плоскость $A_1C_1A$ максимальна.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB:BC=2:3$. Точки $F$ и $F_1$ — середины ребер $BC$ и $B_1C_1$ соответственно. Сфера касается всех звеньев ломаной $AFDD_1A_1$ и пересекает отрезок $F_1F$ в точках $F_1$ и $E$. Найти объем параллелепипеда и радиус сферы, если $F_1E=3/2$.
Ответ:
Решение: