Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 306
Найти приведенный многочлен $P(x)$ (коэффициент при старшей степени $x$ равен $1$), для которого справедливо тождество $xP(x-1)=(x-3)P(x)$ по переменной $x$.
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ имеет три корня, равные попарным суммам корней многочлена $Q(x)=x^3+2x^2-3x-1$. Найти $a$, $b$, $c$.
Ответ:
Решение:
Для квадратного трехчлена $P_1(x)=x^2-x-6$ и натурального числа $n$ определим многочлены $P_2(x)=P_1(2x)$, $P_3(x)=P_2(2x)$, $\ldots$, $P_n(x)=P_{n-1}(2x)$. Решить уравнение $P_n(x)=0$ и найти сумму корней многочлена \[ Q_n(x)=P_1(x)+P_2(x)+\ldots+P_n(x). \]
Ответ:
Решение:
Известно, что квадрат любого из корней кубического уравнения \[ x^3-x+2=0 \] является корнем другого, также кубического уравнения. Найдите это уравнение.
Ответ:
Решение:
Квадратный трёхчлен $y=x^2+bx+c$ назовём совершенным, если $b$ и $c$ являются его корнями. Найдите все совершенные квадратные трёхчлены.
Ответ:
Решение:
Известно, что в любой тройке $(x,y,z)$ различных чисел, удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} x+y+z=\dfrac1a,\\ \dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z=a, \end{cases} \] есть число, равное $a\ne\pm1$. Найти наименьшее возможное значение выражения $x^2+y^2+z^2$. При каком $a$ оно достигается?
Ответ:
Решение:
Члены последовательности $x_n$ являются решениями уравнения \[ F_n(x)=\underbrace{f(f(f\ldots(f(x))\ldots)}_{n}=0 \] для всех $n\geqslant1$. Написать формулу общего члена последовательности и найти $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$, если $f(x)=2x-3$.
Ответ:
Решение:
Может ли соотношение $x_{n+2}\cdot x_{n+1}=x_{n+1}\cdot x_n-2$, $x_1=2$, $x_2=2017$ определять члены последовательности $x_n$ для всех $n$? Найти $n$, для которого $x_n=0$.
Ответ:
Решение:
Члены последовательности $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ удовлетворяют соотношению $a_{n+1}=2a_n+3$, $a_1=a$ для любых $n$ и целом $a$. При каких $a$ число 637 является членом последовательности?
Ответ:
Решение:
Члены двух числовых последовательностей $a_n$ и $b_n$ связаны между собой соотношениями \[ \begin{cases} 2a_{n+1}=\sqrt3a_n-b_n,\\ 2b_{n+1}=a_n+\sqrt3b_n, \end{cases}\quad a_1=b_1=1 \] для всех натуральных $n$. Найти наименьшее натуральное число $m$, для которого $a_{n+m}=a_n$, $b_{n+m}=b_n$ при любых $n$. Найти значения $a_{2021}$ и $b_{2021}$.
Ответ:
Решение:
Члены последовательности $a_n$ удовлетворяют соотношению: $a_{n+2}=a_n-\dfrac{2}{a_{n+1}}$, $a_1=8$, $a_2=19$. Найти $n$, для которого $a_n=0$.
Ответ:
Решение:
На плоскости нарисовано $100$ прямоугольников с вершиной в начале координат, с противоположной вершиной — на гиперболе $y=\frac{2x+3}{x}$ в точках с абсциссой $x=n$, $n=1,2,3,\ldots,100$ со сторонами параллельными координатным осям. Область $D$ содержит те точки плоскости, которые принадлежат только одному из прямоугольников. Найдите площадь $D$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — начало трех отрезков $OA$, $OB$ и $OC$ лежащих в плоскости $P$ и имеющих длины $1$, $2$ и $3$ соответственно. На прямой $L$, проходящей через точку $O$ и перпендикулярной плоскости $P$, расположена точка $D$ так, что сумма углов, образуемых прямыми $DA$, $DB$ и $DC$ с прямой $L$, равна $180^\circ$. Найдите длину отрезка $OD$.
Ответ:
Решение:
На ребре $AC$ основания треугольной пирамиды $ABCD$ расположена точка $M$ так, что $AM:MC=1:2$. Через середину ребра $BC$ основания пирамиды проведена плоскость $P$, проходящая через точку $M$ и параллельная боковому ребру $CD$. В каком отношении плоскость $P$ делит объем пирамиды?
Ответ:
Решение:
На ребрах $AB$, $CD$, $DB$ треугольной пирамиды $ABCD$ расположены точки $M$, $N$, $P$ соответственно, причем $AM:MB=1$, $CN:ND=2$, $DP:PB=3$. Через точки $M$, $N$, $P$ проведена плоскость, пересекающая прямую $AC$ в точке $R$. Найти отношение длин отрезков $CR:RA$.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ — середины скрещивающихся ребер $AD$ и $BC$ треугольной пирамиды $DABC$ с вершиной $D$. Точка $Q$ на ребре $AC$ делит его в отношении $AQ:AC=1:3$. Через точки $M$, $N$ и $Q$ проведено сечение пирамиды плоскостью, делящей пирамиду на две части. Найти отношение их объемов.
Ответ:
Решение:
Через ребро $AB$ основания правильной четырехугольной пирамиды $EABCD$ проведена плоскость $P$, пересекающая ребра $EC$ и $ED$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Плоскость $P$ делит объем пирамиды в отношении $V_{EABMN}:V_{EABCD}=5:9$. Найти отношение площадей полных поверхностей пирамид $S_{EABMN}:S_{EABCD}$, если боковые грани пирамиды $EABCD$ наклонены к плоскости основания $ABCD$ под углом $\alpha=\operatorname{arctg}5$.
Ответ:
Решение:
На боковых ребрах $EA$, $EB$, $EC$ правильной четырехугольной пирамиды $ABCDE$ расположены точки $M$, $N$, $K$ соответственно, причем $EM:EA=1:2$, $EN:EB=2:3$, $EK:EC=1:3$. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки $M$, $N$, $K$?
Ответ:
Решение:
В правильной четырехугольной пирамиде противоположные боковые грани перпендикулярны. Высота пирамиды равна $h$. Найти радиус шара, касающегося ребер основания и боковых ребер пирамиды или их продолжений.
Ответ:
Решение:
Муравейник, в котором проживает муравей Гоша, имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром $50$ см и плоским углом при вершине $\pi/6$. Гоша совершил прогулку по поверхности муравейника, выйдя из вершины основания, возвратившись в нее же и побывав на всех боковых гранях муравейника. Во время своей прогулки Гоша никогда не приближался к вершине муравейника ближе, чем на $30$ см. Какое наименьшее возможное расстояние мог преодолеть Гоша за время прогулки?
Ответ:
Решение: