Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 258
В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведена медиана $CD$. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $ACD$ и $BCD$, если $BC=4$, а радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $\frac52$.
Ответ:
Решение:
Один из углов треугольника равен $\dfrac{3\pi}{4}$, радиус вписанной в него окружности равен 4, а периметр треугольника равен $16\left(6+\sqrt{2}\right)$. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $AB=BC=5$, медиана $AD=\dfrac{\sqrt{97}}{2}$. На биссектрисе $CE$ выбрана точка $F$ такая, что $CF=\dfrac{CE}{5}$. Через точку $F$ проведена прямая $l$, параллельная $BC$. Найти расстояние от центра окружности, описанной около треугольника $ABC$, до прямой $l$.
Ответ:
Решение:
Найти стороны параллелограмма $ABCD$, в котором радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $ABD$, равны 5 и $\sqrt{13}$ соответственно, а растояние между центрами этих окружностей равно 2.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ периметра 40 и площади 60 сторона $BC$ равна 16. Внутри треугольника $ABC$ взята точка $D$, удалённая на расстояние 1 от прямой $AB$ и на расстоянии 2 от прямой $AC$. Найти угол $BAC$ и расстояние от $D$ до центра вписанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Какая наименьшая площадь может быть у треугольника $AOC$, вершина $O$ которого лежит на катете $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ и является центром окружности радиуса $R$, касающейся гипотенузы $AC$ и проходящей через точку $B$?
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ вершины $A$, $B$ и точка пересечения высот треугольника $E$ лежат на окружности, которая пересекает отрезок $BC$ в точке $D$. Найти радиус окружности, если $CD=4$, $BD=5$.
Ответ:
Решение:
Через точку $A$ проведены две прямые: одна из них касается окружности в точке $B$, а другая пересекает эту окружность в точках $C$ и $D$ так, что $D$ лежит на отрезке $AC$. Найти $AB$, $CD$ и радиус окружности, если $BC=4$, $BD=3$, $\angle BAC=\arccos\dfrac{1}{3}$.
Ответ:
Решение:
Окружность касается стороны $AD$ четырёхугольника $ABCD$ в точке $D$, а стороны $BC$ — в её середине $M$. Диагональ $AC$ пересекает окружность в точках $K$ и $L$ ($AK\lt AL$). Известно, что $AK=5$, $KL=4$, $LC=1$. Лучи $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $S$, причём $\angle ASB=120^\circ$. Найти радиус окружности и площадь $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Пусть $M$ — множество точек плоскости с координатами $(x;y)$ таких, что числа $3x$, $2y$ и $9-y$ являются длинами сторон некоторого треугольника. Найти площадь фигуры $M$.
Фигура $\Phi$ состоит из точек множества $M$ таких, что неравенство $t^2+2t(x-2)+7-y\gt 0$ выполняется при всех значениях параметра $t$. Найти площадь фигуры $\Phi$.
Фигура $\Phi$ состоит из точек множества $M$ таких, что неравенство $t^2+2t(x-2)+7-y\gt 0$ выполняется при всех значениях параметра $t$. Найти площадь фигуры $\Phi$.
Ответ:
Решение:
Дана система неравенств \[\begin{cases}|x|+|y|\leqslant 2,\\ x^2+y^2\geqslant 4(x+y-1),\\ (y-3x-2)(3y-x+2)\leqslant 0.\end{cases}\] Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
Ответ:
Решение:
Дана система неравенств \[\begin{cases}x^2+y^2\leqslant 4|x|,\\ |x|+|y|\geqslant 2,\\ x^2-y^2+16-8x\geqslant 0.\end{cases}\] Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:\ а) первому неравенству системы;\ б) первым двум неравенствам системы;\ в) всем трем неравенствам системы.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $\Phi$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} \log_{y-x}(2y-2xy)\leqslant2,\\ |x|\leqslant4-y. \end{cases} \] Изобразить фигуру $\Phi$ и найти ее площадь.
Ответ:
Решение:
Пятиугольник $ABCDE$ описан около окружности. Известно, что $AB=BC$, $CD=DE$, $AE=6$, $AC=8$, $CE=7$. Найти радиус окружности, вписанной в пятиугольник, и угол $BCD$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром на стороне $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) касается сторон $AB$ и $BC$. Найти радиус окружности, если площадь треугольника $ABC$ равна $25$, а отношение высоты $BD$ к стороне $AC$ равно $\frac38$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $\pi-\arcsin(8/17)$, а длина стороны $BC$ равна $8$. На продолжении $CB$ за точку $B$ взята точка $D$ так, что $BD=1$. Найти радиус окружности, проходящей через вершину $A$, касающейся прямой $BC$ в точке $D$ и касающейся окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписан в окружность. Прямая $CD$, перпендикулярная $AB$, пересекает окружность в точке $P$. Касательная к окружности, проходящая через точку $P$, пересекает прямую $AB$ в точке $Q$. Найти длины отрезков $PA$ и $PQ$, если $AC=5$, $\angle ABC=2\arccos\sqrt{\frac56}$.
Ответ:
Решение:
Окружность касается сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $A$ и $B$ соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне треугольника, расположена точка $K$ так, что расстояния от нее до продолжений сторон $AC$ и $BC$ равны 39 и 156 соответственно. Найти расстояние от точки $K$ до прямой $AB$.
Ответ:
Решение:
Окружности $C_1$ и $C_2$ внешне касаются в точке $A$. Прямая $\ell$ касается окружности $C_1$ в точке $B$, а окружности $C_2$ — в точке $D$. Через точку $A$ проведены две прямые: одна проходит через точку $B$ и пересекает окружность $C_2$ в точке $F$, а другая касается окружностей $C_1$ и $C_2$ и пересекает прямую $\ell$ в точке $E$. Найти радиусы окружностей $C_1$ и $C_2$, если $AF=3\sqrt{2}$, $BE=\sqrt{5}$.
Ответ:
Решение:
Окружность $C_1$ радиуса $2\sqrt{6}$ с центром $O_1$ и окружность $C_2$ радиуса $\sqrt{6}$ с центром $O_2$ расположены так, что $O_1O_2=\sqrt{70}$. Прямая $l_1$ касается окружностей в точках $A_1$ и $A_2$, а прямая $l_2$ — в точках $B_1$ и $B_2$. Окружности $C_1$ и $C_2$ лежат по одну сторону от прямой $l_1$ и по разные стороны от прямой $l_2$, $A_1\in C_1$, $B_1\in C_1$, $A_2\in C_2$, $B_2\in C_2$, точки $A_1$ и $B_1$ лежат по разные стороны относительно прямой $O_1O_2$. Через точку $B_2$ проведена прямая $l_3$, перпендикулярная прямой $l_2$. Прямая $l_1$ пересекает прямую $l_2$ в точке $A$, а прямую $l_3$ — в точке $B$. Найти $A_1A_2$, $B_1B_2$ и стороны треугольника $ABB_2$.
Ответ:
Решение: