Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите высоту пирамиды.
Ответ:
Решение:
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$. Боковая грань образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ:
Решение:
Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$. Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания.
Ответ:
Решение:
Высота правильной треугольной пирамиды вдвое больше стороны основания. Найдите: а) угол между боковым ребром и плоскостью основания; б) угол между боковой гранью и плоскостью основания.
Ответ:
Решение:
Высота правильной треугольной пирамиды образует с боковой гранью угол, косинус которого равен $\frac{3}{5}$. Найдите: а) угол боковой грани с плоскостью основания; б) угол бокового ребра с плоскостью основания.
Ответ:
Решение:
Вокруг куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ описана сфера. На ребре $CC_{1}$ взята точка $M$, при этом плоскость $ABM$ образует угол $15^{\circ}$ с плоскостью $ABC$.
а) Докажите, что расстояние от центра сферы до плоскости $ABM$ вдвое меньше радиуса окружности, описанной около грани куба. б) Найдите длину линии пересечения плоскости $ABM$ и сферы, если ребро куба равно 2.
а) Докажите, что расстояние от центра сферы до плоскости $ABM$ вдвое меньше радиуса окружности, описанной около грани куба. б) Найдите длину линии пересечения плоскости $ABM$ и сферы, если ребро куба равно 2.
Ответ:
Решение:
Точка $P$ лежит на диаметре $AB$ сферы. При этом $AP:PB=3:1$. Через прямую $AB$ проведена плоскость $\alpha$, а через точку $P$ — плоскость $\beta$, перпендикулярная $AB$. Отрезок $CD$ — общая хорда окружностей сечений сферы эти плоскостями, $S$ — окружность пересечения сферы с плоскостью $\beta$, $M$ — точка, лежащая на окружности $S$.
а) Докажите, что $AM=CD$.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной $M$ и основанием $ACBD$, если диаметр сферы равен 12, а $M$ — наиболее удалённая от плоскости $\alpha$ точка окружности $S$.
а) Докажите, что $AM=CD$.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной $M$ и основанием $ACBD$, если диаметр сферы равен 12, а $M$ — наиболее удалённая от плоскости $\alpha$ точка окружности $S$.
Ответ:
Решение:
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_{1}$ и $C_{1}$, причём $BB_{1}$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_{1}$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что прямые $AB$ и $B_{1}C_{1}$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $AC_{1}$ и $BB_{1}$, если $AB=12$, $B_{1}C_{1}=9$.
а) Докажите, что прямые $AB$ и $B_{1}C_{1}$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $AC_{1}$ и $BB_{1}$, если $AB=12$, $B_{1}C_{1}=9$.
Ответ:
Решение:
Радиус основания конуса с вершиной $S$ и центром основания $O$ равен 5, а его высота равна $\sqrt{51}$. Точка $M$ — середина образующей $SA$ конуса, а точки $N$ и $B$ лежат на основании конуса, причём прямая $MN$ параллельна образующей конуса $SB$.
а) Докажите, что угол $ANO$ — прямой.
б) Найдите угол между прямой $BM$ и плоскостью основания конуса, если $AB=8$.
а) Докажите, что угол $ANO$ — прямой.
б) Найдите угол между прямой $BM$ и плоскостью основания конуса, если $AB=8$.
Ответ:
Решение:
Одно основание цилиндра лежит в плоскости основания правильной треугольной пирамиды, а окружность второго вписана в сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину её высоты.
а) Докажите, что радиус основания цилиндра в шесть раз меньше высоты основания пирамиды.
б) Найдите отношение объёмов цилиндра и пирамиды.
а) Докажите, что радиус основания цилиндра в шесть раз меньше высоты основания пирамиды.
б) Найдите отношение объёмов цилиндра и пирамиды.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a$. Точка $E$ — середина ребра $AD$. Вершины $M$ и $N$ правильного тетраэдра $MNPQ$ лежат на прямой $ED_{1}$, а вершины $P$ и $Q$ — на прямой, проходящей через точку $A_{1}$ и пересекающей прямую $BC$ в точке $R$. Найдите
а) отношение $BR:BC$;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
а) отношение $BR:BC$;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
Ответ:
Решение:
Основание прямой треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $AC=BC=a$. Вершины $M$ и $N$ правильного тетраэдра $MNPQ$ лежат на прямой $CA_{1}$, а вершины $P$ и $Q$ — на прямой $AB_{1}$. Найдите:
а) объём призмы;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
а) объём призмы;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
Ответ:
Решение:
Основание пирамиды $SABCD$ — равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=2BC$, $M$ — середина бокового ребра $SA$, а высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $BMC$ — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между прямыми $AD$ и $CM$, если $BC=6$, высота пирамиды равна 16, а диагонали трапеции $ABCD$ перпендикулярны.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $BMC$ — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между прямыми $AD$ и $CM$, если $BC=6$, высота пирамиды равна 16, а диагонали трапеции $ABCD$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM:MB=CN:NB=1:3$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
Ответ:
Решение:
На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$, причём $SM:MD=1:4$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
Ответ:
Решение:
Шар вписан в прямую четырёхугольную призму
а) Докажите, что суммы площадей противоположных боковых граней призмы равны.
б) Найдите отношение объёмов шара и призмы, если периметр основания призмы в четыре раза больше диаметра шара.
а) Докажите, что суммы площадей противоположных боковых граней призмы равны.
б) Найдите отношение объёмов шара и призмы, если периметр основания призмы в четыре раза больше диаметра шара.
Ответ:
Решение:
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_{1}$, причём $CC_{1}$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC$ — диаметр основания. Известно, что $AB=\sqrt{6}$, $CC_{1}=2\sqrt{3}$, $\angle ACB=30^{\circ}$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_{1}$ и $BC$ равен $45^{\circ}$.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_{1}$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_{1}$ и $BC$ равен $45^{\circ}$.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_{1}$.
Ответ:
Решение:
Радиус основания конуса с вершиной $P$ равен 6, а длина его образующей равна 7. На окружности основания конуса выбраны точки $A$ и $B$, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как $1:2$.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $P$.
б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью $ABP$.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $P$.
б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью $ABP$.
Ответ:
Решение:
Плоскость $\alpha$ проходит через диаметр $AB$ сферы. Через точку $B$ проведена плоскость, касательная к сфере. На этой плоскости взята точка $K$, причём отрезок $KB$ равен радиусу сферы. Луч $AK$ пересекает сферу в точке $M$. Через точку $M$ проведена плоскость $\beta$, перпендикулярная прямой $AB$. Отрезок $CD$ — общая хорда окружностей сечений сферы плоскостями $\alpha$ и $\beta$.
а) Докажите, что $CD$ — диаметр окружности сечения сферы плоскостью $\beta$.
б) Вершина конуса совпадает с точкой $B$, а окружность основания — с окружностью сечения сферы плоскостью $\beta$. Найдите объём конуса, если радиус сферы равен 5.
а) Докажите, что $CD$ — диаметр окружности сечения сферы плоскостью $\beta$.
б) Вершина конуса совпадает с точкой $B$, а окружность основания — с окружностью сечения сферы плоскостью $\beta$. Найдите объём конуса, если радиус сферы равен 5.
Ответ:
Решение:
Грань $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ — квадрат. Точка $M$ лежит на ребре $BC$, причём $CM:MB=1:2$. Известно, что диагональ $DB_{1}$ параллелепипеда перпендикулярна отрезку $C_{1}M$.
а) Докажите, что угол прямой $CB_{1}$ с плоскостью $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ равен $30^{\circ}$.
б) Найдите объём параллелепипеда, если расстояние между прямыми $DB_{1}$ и $C_{1}M$ равно $\sqrt{\frac{3}{7}}$.
а) Докажите, что угол прямой $CB_{1}$ с плоскостью $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ равен $30^{\circ}$.
б) Найдите объём параллелепипеда, если расстояние между прямыми $DB_{1}$ и $C_{1}M$ равно $\sqrt{\frac{3}{7}}$.
Ответ:
Решение: