Точка $M$ — середина ребра $B_{1}C_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ с основаниями $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$. Прямые $BA_{1}$ и $CB_{1}$ перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник $BMA_{1}$ равнобедренный.
б) Найдите объём призмы, если расстояние между прямыми $BA_{1}$ и $CB_{1}$ равно 2.
а) Докажите, что треугольник $BMA_{1}$ равнобедренный.
б) Найдите объём призмы, если расстояние между прямыми $BA_{1}$ и $CB_{1}$ равно 2.
Ответ:
Решение:
На диагонали $BD_{1}$ параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ отмечена точка $M$, причём $BM:MD_{1}=1:3$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямым $AB_{1}$ и $CB_{1}$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AB$ в отношении $1:3$, считая от вершины $A$.
б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит объём параллелепипеда?
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AB$ в отношении $1:3$, считая от вершины $A$.
б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит объём параллелепипеда?
Ответ:
Решение:
Основание четырёхугольной пирамиды $SABCD$ — параллелограмм $ABCD$. Через середину ребра $SC$ и точку $A$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная диагонали $BD$ основания. Пусть $P$ — точка пересечения этой плоскости с прямой $CD$.
а) Докажите, что $D$ — середина отрезка $CP$.
б) Найдите, объём большей из частей, на которые эта плоскость разбивает пирамиду, если объём пирамиды равен $V$.
а) Докажите, что $D$ — середина отрезка $CP$.
б) Найдите, объём большей из частей, на которые эта плоскость разбивает пирамиду, если объём пирамиды равен $V$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ все рёбра равны 2. Точка $M$ — середина ребра $AA_{1}$.
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_{1}C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_{1}C$
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_{1}C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_{1}C$
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a=\sqrt{30}$. Точка $E$ — середина ребра $AD$. Вершины $M$ и $N$ правильного тетраэдра $MNPQ$ лежат на прямой $ED_{1}$, а вершины $P$ и $Q$ — на прямой, проходящей через точку $A_{1}$ и пересекающей прямую $BC$ в точке $R$. Найдите
а) отношение $BR:BC$;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
а) отношение $BR:BC$;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=4$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:1$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=4$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:3$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $AB=2$, высота $SO=4$. На середине ребра $SC$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $AB=4$, высота $SO=4$. На середине ребра $SC$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 2, на середине ребра $CC_1$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 3, на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $AB=2$, боковое ребро призмы $AA_1=3$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $AB=1$, боковое ребро призмы $AA_1=2$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=6$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=6$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:2$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$, все рёбра которой равны, проведена высота $SO$. На середине ребра $SC$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB=6$, высота $SO=3\sqrt2$. На середине ребра $SC$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $AB=3$, боковое ребро призмы $AA_1=2$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $AB=2$, боковое ребро призмы $AA_1=5$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.
Ответ:
Решение:
Высота конуса 12, радиус основания $9{,}75$. Найти расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, проходящего через вершину конуса и хорду в окружности основания, если длина этой хорды $7{,}5$.
Ответ:
Решение: