Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 456
Найдите площадь сечения правильной треугольной пирамиды $TABC$ плоскостью, проходящей через центр сферы описанной около пирамиды, и через середину бокового ребра $TA$ и параллельной медиане $AD$ боковой грани $ATC$, если стороны основания равны $4$, а центр сферы делит высоту пирамиды в отношении $3:1$, считая от вершины.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды $SABC$ служит прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB=2$ и $BC=6$. Высотой пирамиды $SABC$ является отрезок $SD$, где точка $D$ симметрична точке $B$ относительно середины отрезка $AC$. Точка $M$ принадлежит боковому ребру $SB$, причем $SM=2MB$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через $D$ параллельно гипотенузе основания $AC$ и отрезку $AM$, если расстояние от точки $B$ до секущей плоскости равно $\sqrt{14}$.
Ответ:
Решение:
Внутри правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ расположена правильная четырехугольная призма $KLMNK_1L_1M_1N_1$, основание $KLMN$ которой лежит в плоскости $ABC$. Центр основания $KLMN$ призмы расположен на отрезке $AC$, $KL\parallel AC$, $KN\parallel BD$ (точки $K$ и $B$ лежат по одну сторону от $AC$), сторона основания призмы равна 2, боковое ребро $KK_1$ призмы равно 3. Вершины $L_1$ и $M_1$ верхнего основания призмы $KLMNK_1L_1M_1N_1$ принадлежат боковым граням $SBC$ и $SCD$ пирамиды $SABCD$ соответственно. Плоскость $\gamma$ проходит через прямую $BD$ и точку $L_1$. Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\gamma$, если сторона пирамиды равна $8\sqrt2$, а её высота равна 12.
Ответ:
Решение:
Внутри правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ расположена правильная четырехугольная призма $KLMNK_1L_1M_1N_1$, основание $KLMN$ которой лежит в плоскости $ABC$. Центр основания $KLMN$ призмы расположен на отрезке $AC$, $KL\parallel AC$, $KN\parallel BD$ (точки $K$ и $B$ лежат по одну сторону от $AC$), сторона основания призмы равна 2, боковое ребро $KK_1$ призмы равно 3. Вершины $L_1$ и $M_1$ верхнего основания призмы $KLMNK_1L_1M_1N_1$ принадлежат боковым граням $SBC$ и $SCD$ пирамиды $SABCD$ соответственно. Плоскость $\gamma$ проходит через прямую $BD$ и точку $L_1$. Найдите объемы частей, на которые делит пирамиду $SABCD$ плоскость $\gamma$, если сторона пирамиды равна $8\sqrt{2}$, а её высота равна 12.
Ответ:
Решение:
Сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ образовано плоскостью, проходящей через центр основания $ABCDEF$ и параллельной медиане $CM$ боковой грани $SCD$ и апофеме $SN$ боковой грани $SAF$, сторона основания пирамиды равна 8, а расстояние от вершины $S$ до секущей плоскости равно $3\sqrt{13/7}$. Найдите косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.
Ответ:
Решение:
Сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ образовано плоскостью, проходящей через вершину $C$ основания $ABCDEF$ и параллельной медиане $BM$ боковой грани $SAB$ и апофеме $SN$ боковой грани $SAF$, сторона основания пирамиды равна 2, а расстояние от вершины $S$ до секущей плоскости равно 1. Найдите косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь сечения правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ плоскостью, проходящей через вершину $F$ основания $ABCDEF$ и параллельной медиане $CM$ боковой грани $SCD$ и апофеме $SN$ боковой грани $SAF$, если сторона основания пирамиды равна $4\sqrt{7}$, а расстояние от вершины $S$ до секущей плоскости равно $\sqrt{7}$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь сечения правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ плоскостью, проходящей через вершину $C$ основания $ABCDEF$ и параллельной медиане $BM$ боковой грани $SAB$ и апофеме $SN$ боковой грани $SAF$, если сторона основания пирамиды равна 2, а расстояние от вершины $S$ до секущей плоскости равно 1.
Ответ:
Решение:
В правильной четырехугольной пирамиде $TABCD$ через центр основания $ABCD$ проведено сечение плоскостью параллельно медиане $AM$ боковой грани $TAB$ и апофеме $TK$ боковой грани $TCD$. Найдите объем пирамиды с вершиной в точке $T$, основанием которой является указанное выше сечение, если высота пирамиды $TABCD$ равна 12, а расстояние между прямой $AM$ и плоскостью сечения равно $\sqrt{3}$.
Ответ:
Решение:
Основанием четырехугольной пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB=7$, $BC=3\sqrt7$ и углом $A$, равным $60^\circ$. Высотой пирамиды $SABCD$ является отрезок $SO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью, параллельной диагонали основания $BD$ и проходящей через середину ребра $SC$ и точку $P$, лежащую на высоте пирамиды $SO$, причем $SP=2PO$, если расстояние от точки $S$ до плоскости сечения равно $3\sqrt3/2$.
Ответ:
Решение:
Основанием четырехугольной пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB=2\sqrt{3}$, $AD=4\sqrt{3}$ и углом $A$, равным $60^\circ$. Высотой пирамиды $SABCD$ является отрезок $SO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$, $SO=1$. Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью, параллельной медиане $SE$ боковой грани $SAB$ и проходящей через середину ребра $SC$ и середину отрезка $AO$.
Ответ:
Решение:
Сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ образовано плоскостью, проходящей через центр основания $ABCDEF$ и параллельной медиане $CM$ боковой грани $SCD$ и апофеме $SN$ боковой грани $SAF$. Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость сечения разбивает пирамиду, если плоскость сечения наклонена к плоскости основания пирамиды под углом $\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. Решение представьте в виде несократимой дроби $\dfrac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — натуральные числа. В ответ запишите сумму $m+n$.
Ответ:
Решение:
В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона нижнего основания $ABCD$ равна 4, верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ равна 1, точка $O$ — центр основания $ABCD$. Поверхность многогранника $\Phi$ состоит из квадрата $ABCD$, боковых граней пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и боковых граней пирамиды $OA_1B_1C_1D_1$. Найдите площадь сечения многогранника $\Phi$ плоскостью, содержащей прямые $AB$ и $C_1D_1$, если расстояние от точки $D$ до плоскости сечения равно $\dfrac{8\sqrt{14}}{9}$.
Ответ:
Решение:
В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона нижнего основания $ABCD$ равна 24, верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ равна 12, высота пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $24\sqrt{\dfrac{2}{5}}$, точка $O$ — центр основания $ABCD$. Поверхность многогранника $\Phi$ состоит из квадрата $ABCD$, боковых граней пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и боковых граней пирамиды $OA_1B_1C_1D_1$. Найдите площадь сечения многогранника $\Phi$ плоскостью, проходящей через точки $D$, $C_1$ и середину ребра $A_1B_1$.
Ответ:
Решение:
Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$, площадь которого равна $52\sqrt{3}$, а диагональ $BD=13\sqrt{2}$. Высотой пирамиды $SABCD$ является отрезок $SO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью, параллельной диагонали основания $BD$ и проходящей через середину ребра $SC$ и точку $N$, лежащую на боковом ребре пирамиды $SD$, причём $SN=2DN$, если расстояние от точки $B$ до плоскости сечения равно $\sqrt{6}$.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$. Сечение призмы плоскостью, проходящей через точку $C_1$ параллельно диагонали ромба $BD$, наклонено к плоскости основания призмы под углом $\operatorname{arctg}\dfrac{4}{3}$. Найдите отношение высоты призмы к диагонали ромба $AC$, если отношение объемов частей, на которые плоскость сечения делит призму, равно $25:47$, причем среди вершин части призмы меньшего объема есть точка $C$.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды $TABC$ служит треугольник $ABC$, все стороны которого равны $3$, а высота пирамиды совпадает с боковым ребром $TA$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через центр сферы, описанной около пирамиды, образующей с плоскостью основания угол $60^\circ$, пересекающей ребро $AB$ в точке $M$, так что $MB=2AM$, и пересекающей ребро $BC$. Известно, что расстояние от точки $A$ до плоскости сечения равно $0{,}25$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $TABCD$ с основанием $ABCD$, причём $AB=9/2$. На её высоте $TO$ выбрана точка $T_1$ так, что $TT_1=TO/3$. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ делят отрезки $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$, соответственно, в отношении $1:2$, считая от точки $O$. Найдите площадь сечения пирамиды $T_1A_1B_1C_1D_1$ плоскостью, параллельной медиане $AK$ боковой грани $TAB$, проходящей через середину ребра $TC$ и точку $F$ отрезка $TA$ такую, что $AF:FT=1:2$, если известно, что расстояние от точки $C$ до этой плоскости сечения равно $4\sqrt{2/13}$. Результат округлите до сотых по правилам округления.
Ответ:
Решение:
Шар радиуса $4/9$ лежит внутри правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ со стороной основания $8$ и высотой $3$. Этот шар касается плоскости основания $ABCD$ пирамиды и боковых граней $SBC$ и $SCD$. Плоскость $\gamma$ касается шара, проходит через точку $B$, середину $K$ ребра $CD$ и пересекает ребро $SC$ в точке $M$. Найдите объем пирамиды $MBCK$.
Ответ:
Решение:
В классе меньше 30 человек. Учитель заметил, что вероятность выбора отличницы среди девочек равна $\frac{3}{13}$, а вероятность выбора отличника среди мальчиков равна $\frac{4}{11}$. Сколько в классе отличников?
Ответ:
Решение: