Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. На отрезках $BH$ и $CH$ отмечены точки $B_1$ и $C_1$ соответственно так, что $B_1C_1\parallel BC$. Оказалось, что центр окружности $\omega$, описанной около треугольника $B_1HC_1$, лежит на прямой $BC$. Докажите, что окружность $\Gamma$, описанная около треугольника $ABC$, касается окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
Вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $CA$ неравнобедренного треугольника $ABC$ в точках $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно. Пусть $m$ — средняя линия треугольника $A_1B_1C_1$, параллельная стороне $B_1C_1$. Биссектриса угла $B_1A_1C_1$ пересекает $m$ в точке $K$. Докажите, что описанная окружность треугольника $BCK$ касается $m$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ отмечена точка $D$, а на продолжении стороны $BC$ за точку $C$ — точка $E$. Оказалось, что прямая, проходящая через $E$ и параллельная $AB$, касается окружности, описанной около треугольника $ADC$. Докажите, что одна из касательных, проведенных из точки $E$ к описанной окружности треугольника $BCD$, отсекает от угла $ABE$ треугольник, подобный треугольнику $ABC$.
Ответ:
Решение:
Окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются друг друга внутренним образом в точке $A$. Проведем в большей окружности $\Omega$ хорду $CD$, касающуюся $\omega$ в точке $B$ (хорда $AB$ не является диаметром $\omega$). Точка $M$ — середина отрезка $AB$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $CMD$, проходит через центр $\omega$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $E$, а на стороне $AD$ — точка $F$ так, что описанная окружность треугольника $ABE$ касается отрезка $CF$. Докажите, что описанная окружность треугольника $CDF$ касается прямой $AE$.
Ответ:
Решение:
Из каждой вершины треугольника $ABC$ провели внутрь него два луча, красный и синий, симметричные относительно биссектрисы соответствующего угла. Около треугольников, образованных при пересечении лучей одного цвета, описали окружности. Докажите, что если описанная окружность треугольника $ABC$ касается одной из этих окружностей, то она касается и другой.
Ответ:
Решение:
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность $\gamma$. Оказалось, что окружности, построенные на отрезках $AB$ и $CD$ как на диаметрах, касаются друг друга внешним образом в точке $S$. Пусть точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AB$ и $CD$ соответственно. Докажите, что перпендикуляр $\ell$ к прямой $MN$, восставленный в точке $M$, пересекает прямую $CS$ в точке, лежащей на $\gamma$.
Ответ:
Решение:
Остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$ с центром в точке $O$, его высоты пересекаются в точке $H$. Через точку $O$ проведена прямая, перпендикулярная $AH$, а через точку $H$ — прямая, перпендикулярная $AO$. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами $AB$ и $AC$ лежат на одной окружности, которая касается окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ отмечена точка $P$. На отрезке $AB$ отмечена точка $Q$, а на отрезке $AC$ — точка $R$ так, что описанные окружности треугольников $BPQ$ и $CPR$ касаются прямой $AP$. Через точки $B$ и $C$ провели прямые, проходящие через центр описанной окружности треугольника $BPC$, а через точки $Q$ и $R$ — прямые, проходящие через центр описанной окружности треугольника $PQR$. Докажите, что существует окружность, которая касается четырёх проведённых прямых.
Ответ:
Решение:
На периметре треугольника $ABC$ выбраны точки $D_1$, $D_2$, $E_1$, $E_2$, $F_1$, $F_2$ так, что при обходе периметра точки встречаются в порядке $A$, $F_1$, $F_2$, $B$, $D_1$, $D_2$, $C$, $E_1$, $E_2$. Оказалось, что \[ AD_1=AD_2=BE_1=BE_2=CF_1=CF_2. \] Докажите, что периметры треугольников, образованных тройками прямых $AD_1$, $BE_1$, $CF_1$ и $AD_2$, $BE_2$, $CF_2$, равны.
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Точки касания описанных окружностей треугольников $ABE$ и $CDE$ с их общими внешними касательными лежат на окружности $\omega$. Точки касания описанных окружностей треугольников $ADE$ и $BCE$ с их общими внешними касательными лежат на окружности $\gamma$. Докажите, что центры окружностей $\omega$ и $\gamma$ совпадают.
Ответ:
Решение:
Остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$, а его высоты пересекаются в точке $H$. Касательные к окружности $(BHC)$ в точке $B$, к окружности $(AHB)$ в точке $A$ и к окружности $(CHA)$ в точке $C$ ограничивают треугольник $T_1$. Касательные к окружности $(BHC)$ в точке $C$, к окружности $(AHB)$ в точке $B$ и к окружности $(CHA)$ в точке $A$ образуют треугольник $T_2$. Пусть $I_1$ и $I_2$ — центры вписанных окружностей треугольников $T_1$ и $T_2$ соответственно. Докажите, что $HI_1OI_2$ — параллелограмм, либо точки $H$, $I_1$, $O$, $I_2$ лежат на одной прямой. (Здесь под окружностью $(XYZ)$ мы понимаем окружность, описанную вокруг треугольника $XYZ$.)
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle BAC=60^\circ$. Точки $D$ и $E$ симметричны его центру описанной окружности $O$ относительно сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Прямая $DE$ пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $BDF$ и $CEG$ касаются.
Ответ:
Решение:
Медианы остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. На стороне $BC$ отмечены точки $K$ и $N$ так, что $BK=KN=NC$. Высоты треугольника $MKN$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков $AH$, $BH$ и $CH$, касается описанной окружности треугольника $MKN$.
Ответ:
Решение:
Дан неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle A=60^\circ$. На стороне $BC$ отмечены точки $X$ и $Y$ таким образом, что $2BX=AB$ и $2CY=AC$. Докажите, что существует окружность, проходящая через точки $X$ и $Y$, которая касается вписанной и одной из вневписанных окружностей треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
На плоскости даны квадрат и правильный треугольник такие, что площадь каждой из этих двух фигур численно равна периметру другой. Найдите сторону данного квадрата.
Ответ:
Решение:
Площадь квадрата, изображённого на рисунке, равна 200 см$^2$. Точка $O$ — центр квадрата, а точка $M$ — середина его стороны. Чему равна площадь серой части?
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольник $ABCD$. Точка $M$ — середина стороны $AB$, точка $K$ — середина стороны $BC$. Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $E$. Во сколько раз площадь четырехугольника $MBKE$ меньше площади четырехугольника $AECD$?
Ответ:
Решение:
В квадрате $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Отрезки $AE$ и $BF$ пересекаются в точке $G$. Что больше: площадь треугольника $AGF$ или площадь четырёхугольника $GECF$?
Ответ:
Решение:
На рисунке слева направо изображены пересекающиеся квадраты со сторонами 12, 9, 7, 3 соответственно. На сколько сумма чёрных площадей больше, чем сумма серых площадей?
Ответ:
Решение: