Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Можно ли все натуральные числа от 1 до 800 разбить на пары так, чтобы сумма любой пары чисел делилась на 6?
Ответ:
Решение:
а) Натуральное число $n$ меньше 120. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на $n$?
б) Натуральное число $n$ меньше 90. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на $n$?
б) Натуральное число $n$ меньше 90. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на $n$?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное число, которое в 9 раз больше своего остатка от деления на 1024.
Ответ:
Решение:
Петя случайно выбирает натуральное число $d$ от 1 до 5; вероятность выбрать каждое равна $\dfrac{1}{5}$. Затем Петя случайно выбирает натуральное число $a$ от 1 до 1300; вероятность выбрать каждое равна $\dfrac{1}{1300}$. Найдите вероятность того, что один из членов арифметической прогрессии с первым членом $a$ и разностью $d$ будет равен 1825.
Ответ:
Решение:
Натуральное число, большее 1000000, даёт одинаковые остатки при делении на 40 и на 625. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде тысяч?
Ответ:
Решение:
По кругу лежали $n$ шариков, где $6\leqslant n\leqslant 100$. Их перемешали и снова выложили по кругу так, что между каждыми двумя шариками, которые до этого были соседями, теперь лежат ровно 2 шарика. Сколько различных значений могло принимать $n$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
По кругу стоят 73 ребёнка. Злой Дед Мороз обходит круг по часовой стрелке и раздаёт конфеты. Вначале он выдал первому ребёнку одну конфету, затем 1 ребёнка пропустил, следующему ребёнку выдал одну конфету, затем 2 детей пропустил, следующему ребёнку выдал одну конфету, затем 3 детей пропустил и так далее.
Раздав 2020 конфет, он ушёл. Сколько детей так и не получили конфеты?
Раздав 2020 конфет, он ушёл. Сколько детей так и не получили конфеты?
Ответ:
Решение:
На доске написаны три последовательных нечётных числа. Может ли сумма остатков от деления этих трёх чисел на 2022 равняться некоторому простому числу?
Ответ:
Решение:
В компьютер ввели число 1. За одну операцию число в компьютере можно либо увеличить на 7, либо поделить на 2, если оно чётное (например, из числа 60 можно получить 30 или 67). При этом запрещается получать числа, большие 400.
Число назовём классным, если его можно получить в результате некоторой последовательности разрешённых операций. Сколько существует классных чисел?
Число назовём классным, если его можно получить в результате некоторой последовательности разрешённых операций. Сколько существует классных чисел?
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число $n$ увлекательным, если в клетках квадратной таблицы $n\times n$ можно расставить числа от 1 до $n^2$ так, чтобы сумма чисел в клетках любого квадратика $2\times 2$ делилась на 4.
1. Приведите пример числа $n$, которое не является увлекательным и удовлетворяет неравенствам $40\leqslant n\leqslant 49$.
2. Найдите количество увлекательных чисел среди чисел $10, 11, \ldots, 49$.
1. Приведите пример числа $n$, которое не является увлекательным и удовлетворяет неравенствам $40\leqslant n\leqslant 49$.
2. Найдите количество увлекательных чисел среди чисел $10, 11, \ldots, 49$.
Ответ:
Решение:
Серёжа выбрал два различных простых числа $p$ и $q$. Он считает натуральное число $n$ хорошим, если число $p+q$ можно представить в виде суммы ровно $q$ чисел, каждое из которых имеет вид $n^k$ при целом неотрицательном $k$. (Например, если бы Серёжа выбрал $p=7$ и $q=3$, то он бы счёл число $n=2$ хорошим, поскольку $7+3=2^3+2^0+2^0$.) Докажите, что Серёжа считает хорошими не более двух чисел.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем натуральном $n$ существуют такие целые $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, что квадратный трёхчлен \[ x^2-2(a_1+a_2+\ldots+a_n)^2x+\left(a_1^4+a_2^4+\ldots+a_n^4+1\right) \] имеет по крайней мере один целый корень?
Ответ:
Решение:
По кругу расставлены 100 различных натуральных чисел. Вася разделил каждое из них с остатком на следующее по часовой стрелке; при этом оказалось, что остатки, полученные Васей, принимают всего два различных значения. Петя разделил каждое из чисел с остатком на следующее против часовой стрелки. Докажите, что все остатки, полученные Петей, различны.
Ответ:
Решение:
Найдите такое наибольшее $n$, что сумма четвёртых степеней любых $n$ простых чисел, больших 10, делится на $n$.
Ответ:
Решение:
При некоторых натуральных $n\gt m$ число $n$ оказалось представимо в виде суммы 2021 слагаемых, каждое из которых равно некоторой целой неотрицательной степени числа $m$, а также в виде суммы 2021 слагаемых, каждое из которых равно некоторой целой неотрицательной степени числа $m+1$. При каком наибольшем $m$ это могло произойти (хоть при каком-то $n\gt m$)?
Ответ:
Решение:
Две бесконечные последовательности $a_1, a_2, \ldots$ и $b_1, b_2, \ldots$ натуральных чисел таковы, что при любых различных натуральных $m$ и $k$ число $a_m-b_k$ делится на $m-k$. Обязательно ли $a_n=b_n$ при всех натуральных $n$?
Ответ:
Решение:
Даны натуральные числа $a$ и $b$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что число $a^n+1$ не делится на $n^b+1$.
Ответ:
Решение:
Последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$ задана условиями $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+a_{[\sqrt{n}]}$ при всех натуральных $n\geqslant 1$. Докажите, что для каждого натурального $k$ в этой последовательности найдётся член, делящийся на $k$. (Как обычно, $[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Ответ:
Решение:
Даны непостоянный многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами и натуральное число $n$. Положим $a_0=n$, $a_k=P(a_{k-1})$ при всех натуральных $k$. Оказалось, что для любого натурального $b$ в последовательности $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$ есть число, являющееся $b$-й степенью натурального числа, большего 1. Докажите, что многочлен $P(x)$ — линейный.
Ответ:
Решение: