Геометрические приложения

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $\displaystyle y=\frac{x^2}{2}$ и касательными к ней, проведенными в точках $(-2,~2)$ и $(4,~8)$.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y=\sqrt{x}$ и касательными к ней, проведенными в точках $(1,~1)$ и $(9,~3)$.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболами $y=2x^2-4x+1$ и $y=-2x^2+8x+1$. Сделайте чертеж.

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y=\sqrt x$ и прямой $y=x/3$.

Найти площадь фигуры, ограниченной линией $y=12-|x|$ и параболой $y=\displaystyle\frac{x^2}{2}$. Сделайте чертеж.

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ и прямыми $x=-1$, $x=1$.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2$ и прямыми $y=4$ и $y=9$. Сделайте чертеж.

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной гиперболой $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ и прямыми $x=1$, $x=2$.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=\ln x$ и прямой $y=\displaystyle\frac{2(x-1)}{e^2-1}$. Сделайте чертеж.
Указание. $\int\ln x\,dx=x(\ln x-1)+C$.

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линией $x^2+y^2=25$, прямой $4x=3y$ и осью абсцисс.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=2^x$ и прямой $\displaystyle y=\frac73\,x+1$. Сделайте чертеж.

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ординат фигуры, ограниченной графиком функции $y=e^x$ и прямыми $x=0$ и $y=e^2$.
Указание. $\int\ln^2 x\,dx=x(\ln^2 x-2\ln x+2)+C$.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболами $y=x^2$ и $y=2x^2-16$. Сделайте чертеж.

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y=\sin x$ ($0\leqslant x\leqslant\pi$) и ломаной $\displaystyle y=\frac{\pi}{2}-\left|x-\frac{\pi}{2}\right|$.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=\sin\pi x$ и параболой $y=x^2-x$.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2$ и касательными к ней, проходящими через точку $(-1,~-3)$.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}$ и параболой $\displaystyle y=\frac{x^2}{36}$.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2$ и касательными к ней, проходящими через точку $(2,~3)$.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $\displaystyle y=\frac{1}{x+1}$ и прямой $x+5y=5$.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y=-x^2$ и касательными к ней, проходящими через точку $(2,~5)$.