В окружность вписан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ перпендикулярно прямой $AB$, пересекает сторону $CD$ в точке $M$.
а) Докажите, что $EM$ — медиана треугольника $CED$.
б) Найдите $EM$, если $AD = 8$, $AB = 4$ и угол $\angle CDB$ равен $60^{\circ}$.
а) Докажите, что $EM$ — медиана треугольника $CED$.
б) Найдите $EM$, если $AD = 8$, $AB = 4$ и угол $\angle CDB$ равен $60^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
В квадрате $ABCD$ на диагонали $BD$ и на сторонах $AB$ и $BC$ отметили соответственно точки $P, E$ и $F$ такие, что $BE = BF$, а прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $AC$, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника $EBFP$ и в четыре раза меньше площади квадрата.
a) Докажите, что если $BP \cdot BE = \sqrt{2}$, то $AB = 2$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $EPF$ и $EBF$.
a) Докажите, что если $BP \cdot BE = \sqrt{2}$, то $AB = 2$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $EPF$ и $EBF$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ точка $E$-середина стороны $BC$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $AB$ и через точку $E$ перпендикулярно прямой $DE$ проведены соответственно прямые, $DE$ проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке $K$.
a) Докажите, что $AK = KD$.
б) Найдите угол $BAD$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle CED = 58^\circ$.
a) Докажите, что $AK = KD$.
б) Найдите угол $BAD$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle CED = 58^\circ$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через вершины $B$ и $C$, пересекает боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно, причём точка $P$ лежит между $B$ и $M$, а точка $Q$ — между $C$ и $N$.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $PM$ и $QN$, если известно, что $AQ\perp BQ$, $AB=8$, $BC=1$, $CD=10$, $AD=7$.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $PM$ и $QN$, если известно, что $AQ\perp BQ$, $AB=8$, $BC=1$, $CD=10$, $AD=7$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Точки $M$ и $N$ — середины $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезки $BM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ (отличных от концов отрезков) соответственно.
а) Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $QN$, если отрезки $DP$ и $PC$ перпендикулярны, $AB=21$, $BC=4$, $CD=20$, $AD=17$.
а) Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $QN$, если отрезки $DP$ и $PC$ перпендикулярны, $AB=21$, $BC=4$, $CD=20$, $AD=17$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания $AD$, вторая — боковых сторон, меньшего основания $BC$ и первой окружности.
а) Докажите, что точка касания окружностей равноудалена от прямых $AB$ и $CD$.
б) Найти меньшее основание трапеции, если $AD=28$, радиус большей окружности равен $3{,}5$.
а) Докажите, что точка касания окружностей равноудалена от прямых $AB$ и $CD$.
б) Найти меньшее основание трапеции, если $AD=28$, радиус большей окружности равен $3{,}5$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые.
а) Докажите, что $AM=DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $55^{\circ}$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.
а) Докажите, что $AM=DM$.
б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $55^{\circ}$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания $AD$, вторая — боковых сторон, меньшего основания $BC$ и первой окружности.
а) Докажите, что точка касания окружностей равноудалена от прямых $AB$ и $CD$.
б) Найдите меньшее основание трапеции, если $AD=28$, а радиус большей окружности равен $\frac{7}{2}$.
а) Докажите, что точка касания окружностей равноудалена от прямых $AB$ и $CD$.
б) Найдите меньшее основание трапеции, если $AD=28$, а радиус большей окружности равен $\frac{7}{2}$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания $AD$, вторая — боковых сторон, меньшего основания $BC$ и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание $AD$ в точке $P$. Докажите, что $\frac{AP}{PD}=\sin D$.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны $\frac{4}{3}$ и $\frac{1}{3}$.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание $AD$ в точке $P$. Докажите, что $\frac{AP}{PD}=\sin D$.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны $\frac{4}{3}$ и $\frac{1}{3}$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опустили перпендикуляр $AH$. Перпендикуляр, восставленный к той же стороне в точке $C$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$.
а) Докажите, что $BH\parallel ED$.
б) Найдите отношение $BH:ED$, если $\angle ADC=60^{\circ}$.
а) Докажите, что $BH\parallel ED$.
б) Найдите отношение $BH:ED$, если $\angle ADC=60^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $E$. Окружность проходит через точки $E$, $C$ и $D$, пересекает основание $AD$ в точке $F$ и касается прямой $BF$.
а) Докажите, что треугольник $CDF$ подобен треугольнику $BFC$.
б) Найдите основание $BC$, если углы $AED$ и $BCD$ равны, радиус окружности равен 17, а $CD=30$.
а) Докажите, что треугольник $CDF$ подобен треугольнику $BFC$.
б) Найдите основание $BC$, если углы $AED$ и $BCD$ равны, радиус окружности равен 17, а $CD=30$.
Ответ:
Решение:
На основании $BC$ трапеции $ABCD$ взята точка $E$, лежащая на одной окружности с точками $A$, $C$ и $D$. Другая окружность, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$, касается прямой $CD$.
а) Докажите, что треугольник $ACD$ подобен треугольнику $ABE$
б) Найдите $BC$, если $AB=12$, $BE:EC=4:5$.
а) Докажите, что треугольник $ACD$ подобен треугольнику $ABE$
б) Найдите $BC$, если $AB=12$, $BE:EC=4:5$.
Ответ:
Решение:
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию $KLMN$, касается боковых сторон $KL$ и $MN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $KQ$ пересекает окружность в точке $A$, а луч $PA$ пересекает основание $KN$ в точке $B$.
а) Докажите, что треугольник $AKB$ подобен треугольнику $KPB$.
б) Найдите отношение оснований трапеции, если $PQ:KB=8:3$.
а) Докажите, что треугольник $AKB$ подобен треугольнику $KPB$.
б) Найдите отношение оснований трапеции, если $PQ:KB=8:3$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AB=9$ и $CD=5$ биссектриса угла $D$ пересекает биссектрисы углов $A$ и $C$ в точках $M$ и $N$ соответственно, а биссектриса угла $B$ пересекает те же две биссектрисы в точках $L$ и $K$, причём точка $K$ лежит на основании $AD$.
а) В каком отношении прямая $LN$ делит сторону $AB$, а прямая $MK$ — сторону $BC$?
б) Найдите отношение $MN:KL$, если $LM:KN=3:7$.
а) В каком отношении прямая $LN$ делит сторону $AB$, а прямая $MK$ — сторону $BC$?
б) Найдите отношение $MN:KL$, если $LM:KN=3:7$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. Окружности, построенные на боковых сторонах $AB$ и $CD$ как на диаметрах, пересекаются в точках $M$ и $N$.
а) Докажите, что $MN\perp AD$.
б) Найдите $MN$, если известно, что боковые стороны трапеции равны 12 и 16, а сумма проекций диагоналей на большее основание равна 20.
а) Докажите, что $MN\perp AD$.
б) Найдите $MN$, если известно, что боковые стороны трапеции равны 12 и 16, а сумма проекций диагоналей на большее основание равна 20.
Ответ:
Решение:
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ стороны $BC$ и $CD$ равны. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $AC\cdot CK=BC^{2}$.
б) Найдите площадь этого четырёхугольника, если известно, что $AC=8$ и $\angle BAD=150^{\circ}$.
а) Докажите, что $AC\cdot CK=BC^{2}$.
б) Найдите площадь этого четырёхугольника, если известно, что $AC=8$ и $\angle BAD=150^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию $ABCD$, касается боковых сторон $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Отрезок $AN$ пересекает окружность в точке $K$, а луч $MK$ пересекает основание $AD$ в точке $L$.
а) Докажите, что треугольник $AKL$ подобен треугольнику $MAL$.
б) Найдите отношение $AL:LD$.
а) Докажите, что треугольник $AKL$ подобен треугольнику $MAL$.
б) Найдите отношение $AL:LD$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ расположены две окружности, каждая из которых касается другой окружности, двух боковых сторон и одного из оснований. Пусть $P$ и $Q$ — точки касания окружностей с боковой стороной $AB$, а общая касательная окружностей, проходящая через их точку касания, пересекает боковые стороны в точках $M$ и $N$.
а) Докажите, что $MN=PQ$.
б) Найдите площадь трапеции $ABCD$, если известно, что $AD=18$ и $BC=2$.
а) Докажите, что $MN=PQ$.
б) Найдите площадь трапеции $ABCD$, если известно, что $AD=18$ и $BC=2$.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$. Окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $BDC$, касаются диагонали $BD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ADC$ касаются диагонали $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно.
а) Докажите, что $MKNL$ — прямоугольник.
б) Найдите его площадь, если известно, что $BC-AB=4$, а угол между диагоналями параллелограмма $ABCD$ равен $30^{\circ}$.
а) Докажите, что $MKNL$ — прямоугольник.
б) Найдите его площадь, если известно, что $BC-AB=4$, а угол между диагоналями параллелограмма $ABCD$ равен $30^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Точки $M$ и $N$ — середины $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезки $BM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ (отличных от концов отрезков) соответственно.
а) Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $QN$, если отрезки $DP$ и $PC$ перпендикулярны, $AB=21$, $BC=4$, $CD=20$, $AD=17$.
а) Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $QN$, если отрезки $DP$ и $PC$ перпендикулярны, $AB=21$, $BC=4$, $CD=20$, $AD=17$.
Ответ:
Решение: