Другие задачи

 Версия для печати

Номер страницы:  1  2
618. Расход электропроводника на километр вычисляется как $W(r)=Ar+B/r$, где $r$ [Ом] — сопротивление, $A$ и $B$ — постоянные. При каком сопротивлении проводник будет наиболее экономным?
621. При подъеме человеком груза массой $x$ на максимально возможную для него высоту мускулы совершают работу $A=bx(1-x/a)$, где $a$ и $b$ — положительные постоянные. При какой массе груза работа будет наибольшей?
624. Газовая смесь состоит из окиси азота и кислорода. Найти концентрацию кислорода, при которой окись азота, содержащаяся в смеси, окисляется с максимальной скоростью. Скорость реакции выражается формулой $V=k(100x^2-x^3)$, где $x$ — концентрация окиси азота (в объемных процентах).
627. Сопротивление $f$ дороги движению автомобиля при скорости $V$ км/ч на булыжной мостовой выражается формулой $f=29-2V/3+V^2/15$. Определить скорость, при которой сопротивление будет наименьшим.
630. В коническом сосуде, заполненном водой, напряжение $p$, стремящееся разорвать его по образующей, выражается формулой $p=ay(h-y)$, где $h$ — высота сосуда, $y$ — расстояние до уровня жидкости, $a$ — некоторая постоянная. На какой глубине $y$ это напряжение будет наибольшим?
633. Объем газов, удаляемых из топки котла в дымовую трубу благодаря тяге, может быть выжен формулой $\displaystyle V=a\sqrt {\frac {T_0}{T}-\left (\frac {T_0}{T}\right )^2},$ где $T$ — средняя температура газов в трубе, $T_0$ — (абсолютная) температура воздуха вне трубы, $a$ — некоторая постоянная. При каком значении $T$ тяга будет наиболее выгодной?
636. В коническом сосуде, заполненном водой, напряжение $q$, стремящееся разорвать его по кругу, параллельному основанию, выражается формулой $q=b(h-y)(h+2y)$, где $h$ — высота сосуда, $y$ — расстояние до уровня жидкости, $b$ — некоторая постоянная. На какой глубине $y$ это напряжение будет наибольшим?
639. Сопротивление $f$ дороги движению автомобиля при скорости $V$ км/ч на плохом шоссе выражается формулой $f=28-0{,}25V+0{,}02V^2$. Определить скорость $V$, при которой сопротивление будет наименьшим.
642. Тонкопроводящий кабель состоит из медного провода с изоляцией. Скорость телеграфирования вычисляется как $\displaystyle V=Ax\ln(1/x)$, где $x$ — отношение радиуса медного провода к толщине изоляции. При каком значении $x$ скорость телеграфирования будет наибольшей?
645. КПД электродвигателя вычисляется по формуле $\displaystyle \eta =\frac{UI-I^2R-a}{UI}$, где $R$ [Ом] — внутреннее сопротивление, $U$ [В] — напряжение, и $a$ [Вт] — потери холостого хода при напряжении $U$. При какой величине тока $I$ КПД будет наибольшим?
648. Измерения, проведенные в различных местах реки, покрытой льдом, показали, что скорость воды для разной глубины $x$ изменяется по закону $V=b\ln x+a+kM\ln(t-x)$. На какой глубине скорость течения наибольшая?
651. Если из круглого бревна диаметром $d$ вырезать балку с прямоугольным сечением, основание которого равно $x$, опереть ее на концах и равномерно нагрузить, то ее стрела прогиба будет равна $\displaystyle f=\frac {k}{x\left(d^2-x^2 \right)^{3/2}}$. Найти значение $x$, при котором балка обладает наибольшей жесткостью.
654. Сопротивление $f$ дороги движению автомобиля при скорости $V$ км/ч на хорошем шоссе выражается формулой $f=24-2V/3+V^2/30$. Определить скорость $V$, при которой сопротивление будет наименьшим.
657. Сила натяжения каната, удерживающего груз на наклонной плоскости, равна $F=mg(\mu\cos\alpha +\sin\alpha)$, где $\alpha$ — угол наклона плоскости, $m$ — масса груза, $\mu$ — коэффициент трения. При каком значении $\alpha$ ($0<\alpha<\pi/2$) сила натяжения каната будет наибольшей?
660. Зависимость управленческих расходов $R$ на предприятии от продукции $P$ выражается формулой $R=aP+b/(c+P)+d$, где $a$, $b$, $c$ и $d$ — положительные константы. При каком значении $P$ расходы $R$ достигнут минимума?
663. Сопротивление $f$ дороги движению автомобиля при скорости $V$ км/ч на мягкой грунтовой дороге выражается формулой $f=36{,}5-3V/4+V^2/30$. Определить скорость $V$, при которой сопротивление будет наименьшим.
666. Мощность $P$, отдаваемая электрическим элементом, определяется формулой $P=E^2R/(r+R)^2$, где $E$ — постоянная электродвижущая сила элемента, $r$ — постоянное внутреннее сопротивление, $R$ — внешнее сопротивление. Каким должно быть внешнее сопротивление $R$, чтобы мощность $P$ была наибольшей?
669. Чтобы сдвинуть с места тело, лежащее на горизонтальной плоскости, нужно приложить силу $\displaystyle F=\frac {\mu mg}{\cos\alpha +\mu\sin\alpha }$, где $\alpha$ — угол между горизонтальным направлением и вектором силы, $m$ — масса груза, $\mu$ — коэффициент трения. Под каким углом следует приложить силу, чтобы ее величина была наименьшей?
672. Освещенность границы круглой площадки радиуса $R$ помещенным на высоте $h$ над ее центром источником света равна $\displaystyle E=\frac{kh}{\left(h^2+R^2\right)^{3/2}}$, где $k$ — постоянная. Найти значение $h$, при котором освещенность границы будет наибольшей.
675. Объем цилиндрической балки длины $l$, вырезанной из бревна (имеющего форму усеченного конуса) и соосной с ним, равен $V=al(l-b)^2$, где $a$ и $b$ — положительные постоянные, зависящие от размеров бревна (длина меньше, чем $b$, но больше, чем $b/3$). При каком значении $l$ объем такой балки будет наибольшим?
678. Полезная мощность электродвигателя вычисляется по формуле $P=UI-I^2R-a$, где $R$ — внутреннее сопротивление, $U$ — напряжение, $a$ — потери холостого хода при напряжении $U$. При какой величине тока $I$ полезная мощность будет наибольшей?
681. Если из круглой пластинки жести радиуса $R$ вырезать сектор с углом $\alpha$ и свернуть из него коническую воронку, то ее объем будет равен $\displaystyle V=\frac{R^3\alpha^2}{24\pi^2}\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}.$ При каком значении $\alpha$ объем будет наибольшим?
684. Площадь застекленной части окна, имеющего форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом, равна $\displaystyle S=\frac{a}{2}\left(p-\frac{\pi+4}{4}a\right)$, где $a$ — ширина окна, $p$ — его периметр. Меняя $a$ (и сохраняя $p$ постоянным), можно добиться того, что окно будет пропускать наибольшее количество света. Найти соответствующее значение $a$.
687. Если в электрическую цепь сопротивлением $R$ включен электронагревательный прибор сопротивлением $r$, то количество выделенного в нем тепла находится по формуле $Q=E^2 r/(R+r)^2$, где $E$ — постоянная ЭДС. При каком сопротивлении электронагревательного элемента в нем выделится наибольшее количество тепла?
690. Если из квадратного листа жести со стороной $a$ вырезать по углам равным квадраты со стороной $x$ и, сгибая края, сделать прямоугольную открытую коробку, то ее объем будет равен $V=x(a-2x)^2$. При каком значении $x$ ее объем будет наибольшим?
693. Затраты на 1 км рейса морского транспорта выражаются формулой $G=(a/V+bV^2)/1{,}85$, где $V$ — скорость транспорта (в узлах), $a$ и $b$ — положительные постоянные, зависящие от вида транспорта и стоимости топлива. Найти значение $V$, при котором затраты на рейс будут наименьшим.
696. Полная поверхность цилиндрической консервной банки заданного объема $V$ равна $S=2\pi r^2+2V/r$, где $r$ — радиус банки. Найти значение $r$, при котором на изготовление банки пойдет наименьшее количество материала.
699. Дальность полета $x$ шарика, скатившегося по кривому желобу с высоты $H$ до высоты $h$, вычисляется по формуле $x=2\sqrt {h(H-h)}$. При каком $h$ дальность $x$ полета будет наибольшей?
702. Площадь поперечного сечения специального трубопровода выражается формулой $S=a\sin\alpha(1+\cos\alpha)$, где $a$ — некоторая постоянная, а $\alpha$ — параметр, принимающий значения от $0$ до $\pi/2$. При каком значении $\alpha$ пропускная способность трубопровода будет наибольшей?
705. Если из круглого бревна диаметром $d$ вырезать балку с прямоугольным сечением, основание которого равно $b$, то предельная нагрузка, которую сможет выдержать эта балка (будучи опертой на концах и равномерно нагруженной), равна $P=kb(d^2-b^2)$, где $k$ — постоянная. Найти значение $b$, при котором балка обладает наибольшей прочностью.
© Моисеев Д. В., 2015-2018 г.
Не допускается использование материалов сайта в печатных изданиях, для получения материальной выгоды, в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателя.