Линейные операции над векторами

Первоначальное знакомство с векторами на плоскости. Сложение векторов, умножение вектора на число.

 Версия для печати

Номер страницы:  1  2
3210. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:1$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{AM}$,
б) вектор $\overline{CK}$.
3211. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:2$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{MK}$,
б) вектор $\overline{BK}$.
3212. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=1:4$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{AK}$,
б) вектор $\overline{KC}$.
3213. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=2:3$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{KM}$,
б) вектор $\overline{BK}$.
3214. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AP$, $BQ$ и $CR$. Доказать, что $\overline{AP}+\overline{BQ}+\overline{CR}=\vec 0$.
3215. В треугольнике $ABC$ проведены медианы, пересекающиеся в точке $O$. Доказать, что $\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}=\vec 0$.
3216. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AP$, $BQ$ и $CR$, пересекающиеся в точке $O$. Доказать, что $\overline{OP}+\overline{OQ}+\overline{OR}=\vec 0$.
3217. Точка $M$ — середина отрезка $AB$, $O$ — произвольная точка. Доказать, что $\displaystyle\overline{OM}=\frac12\left(\overline{OA}+\overline{OB}\right)$.
4340. Даны координаты противоположных вершин квадрата $ABCD$: $A(-1;~-3)$ и $C(3;~5)$. Найти координаты вершин $B$ и $D$.
4341. Даны координаты смежных вершин прямоугольника $ABCD$: $A(-4;~3)$, $B(-2;~-3)$. $O(3;~2)$ — точка пересечения его диагоналей. Найти координаты вершин $C$ и $D$.
4342. Даны координаты противоположных вершин квадрата $ABCD$: $A(-3;~-1)$ и $C(6;~4)$. Найти координаты вершин $B$ и $D$.
4359. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=5:3$, а на стороне $CD$ — точка $K$ так, что $CK:KD=3:2$. Через векторы $\vec a=\overline{AD}$ и $\vec b=\overline{AB}$ выразить векторы:
а) $\overline{MA}$; б) $\overline{MK}$; в) $\overline{CN}$, где $N$ — середина $MK$.
4360. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=2:1$, а на стороне $CD$ — точка $K$ так, что $CK:KD=2:3$. Через векторы $\vec a=\overline{AD}$ и $\vec b=\overline{AB}$ выразить векторы:
а) $\overline{MD}$; б) $\overline{KM}$; в) $\overline{BN}$, где $N$ — середина $MK$.
4361. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:2$, а на стороне $CD$ — точка $K$ так, что $CK:KD=2:1$. Через векторы $\vec a=\overline{AD}$ и $\vec b=\overline{AB}$ выразить векторы:
а) $\overline{MA}$; б) $\overline{MK}$; в) $\overline{CN}$, где $N$ — середина $MK$.
4362. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=2:3$, а на стороне $CD$ — точка $K$ так, что $CK:KD=3:1$. Через векторы $\vec a=\overline{AD}$ и $\vec b=\overline{AB}$ выразить векторы:
а) $\overline{MD}$; б) $\overline{KM}$; в) $\overline{BN}$, где $N$ — середина $MK$.
4363. Пусть $\vec e_1$ и $\vec e_2$ — неколлинеарные векторы. Выразить вектор $\vec a=2\vec e_1-3\vec e_2$ через векторы $\vec x=\vec e_1 + \vec e_2$ и $\vec y=\vec e_1 - \vec e_2$.
4364. Пусть $\vec e_1$ и $\vec e_2$ — неколлинеарные векторы. Выразить вектор $\vec a=3\vec e_1-5\vec e_2$ через векторы $\vec x=\vec e_1 + \vec e_2$ и $\vec y=\vec e_1 - \vec e_2$.
4365. Пусть $\vec e_1$ и $\vec e_2$ — неколлинеарные векторы. Выразить вектор $\vec a=2\vec e_1-7\vec e_2$ через векторы $\vec x=\vec e_1 + \vec e_2$ и $\vec y=\vec e_1 - \vec e_2$.
4366. Пусть $\vec e_1$ и $\vec e_2$ — неколлинеарные векторы. Выразить вектор $\vec a=\vec e_1-3\vec e_2$ через векторы $\vec x=\vec e_1 + \vec e_2$ и $\vec y=\vec e_1 - \vec e_2$.
4383. В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=3:1$. Выразить вектор $\overline{BK}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
4384. В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=1:3$. Выразить вектор $\overline{CK}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
4385. В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=2:3$. Выразить вектор $\overline{BK}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
4386. В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=3:2$. Выразить вектор $\overline{CK}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
4387. В треугольнике $ABC$ на биссектрисе $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=3:2$. Выразить вектор $\overline{KC}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
4388. В треугольнике $ABC$ на биссектрисе $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=1:2$. Выразить вектор $\overline{KB}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
4389. В треугольнике $ABC$ на биссектрисе $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=1:3$. Выразить вектор $\overline{KC}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
4390. В треугольнике $ABC$ на биссектрисе $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=2:3$. Выразить вектор $\overline{KB}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
4391. Даны точки $A(-2;~1)$, $B(2;~5)$ и $C(4;~-1)$. Точка $D$ лежит на продолжении медианы $AM$ за точку $M$, причём четырёхугольник $ABDC$ — параллелограмм. Найдите координаты точки $D$.
4392. Даны точки $A(-6;~-1)$, $B(1;~2)$ и $C(-3;~-2)$. Найдите координаты вершины $M$ параллелограмма $ABMC$.
4393. Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Известно, что $\overline{BC}=\overline{a}$, $\overline{DC}=\overline{b}$. Найдите векторы $\overline{AE}$, $\overline{FC}$, $\overline{BF}$, $\overline{AC}$ и $\overline{MK}$, где $M$ — середина стороны $BC$, а точка $K$ расположена на стороне $EF$, причём $FK:KE=1:2$.
© Моисеев Д. В., 2015-2018 г.
Не допускается использование материалов сайта в печатных изданиях, для получения материальной выгоды, в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателя.