Номер страницы: 1 ...  122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136  137  138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151  ... 217

4280. а) Сколько трехзначных чисел, которые можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5? б) А если никакая цифра не должна появляться дважды в записи числа?

4281. а) Сколько четырехзначных чисел, которые можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5? б) А если никакая цифра не должна появляться дважды в записи числа?

4282. Монету подбрасываются 10 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет не менее 7 раз.

4283. Монету подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет не более трёх раз.

4284. Игральный кубик кидают 10 раз. Найти вероятность того, что чётное число очков выпадет не менее шести раз.

4285. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении $12:5$, а боковая сторона равна 60. Найдите основание.

4286. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=15$, $BC=12$, $AC=18$. В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису, проведённую из вершины $C$?

4287. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20, основание равно 24. Найдите расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

4288. В параллелограмме $PQRS$ биссектриса угла при вершине $P$, равного $80^{\circ}$, пересекает сторону $RS$ в точке $L$. Найдите радиус окружности, касающейся отрезка $PQ$ и лучей $QR$ и $PL$, если известно, что $PQ=7$.

4289. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно в точках $K$, $M$ и $N$. Найдите угол $KMN$, если $\angle A=70^{\circ}$.

4290. Докажите, что для произвольного треугольника выполняется равенство $$r=\frac{a\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}},$$ где $r$ — радиус вписанной окружности, $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника $ABC$, $a=BC$.

4291. В параллелограмме $ABCD$ с углом $A$, равным $60^{\circ}$, проведена биссектриса угла $B$, пересекающая сторону $CD$ в точке $E$. В треугольник $ECB$ вписана окружность радиуса $R$. Другая окружность вписана в трапецию $ABED$. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

4292. В равнобедренный треугольник $ABC$ вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании $BC$, а две другие — на боковых сторонах треугольника. Сторона квадрата относится к радиусу круга, вписанного в треугольник, как $8:5$. Найдите углы треугольника.

4293. Сторона $AB$ прямоугольника $ABCD$ равна 12, а сторона стороны $AD$ равна 5. Диагонали прямоугольника пересекаются в точке $E$. Найдите отношение расстояния от точки $E$ до центра окружности, вписанной в треугольник $AED$, к расстоянию от точки $E$ до центра окружности, вписанной в треугольник $DEC$.

4294. Указать условия на $a$ и $b$, при которых $a^3-2b^3+ab^2-2a^2b \geqslant 0$.

4295. Указать условия на $a$ и $b$, при которых $2ab^4-a^4b-b^5+2a^5 \leqslant 0$.

4296. Указать условия на $a$ и $b$, при которых $b^5+a^2b^3+a^3b^2+a^5 \geqslant 0$

4297. Доказать неравенство: $\displaystyle \frac{2ab^2+4a^2b+b+2a}{2ab} \geqslant 4$ ($a > 0$, $b > 0$).

4298. Доказать неравенство: $\displaystyle \frac{a^2b^6+a^4b^3+b^3+a^2}{a^2b^3} \geqslant 4$ ($a > 0$, $b > 0$).

4299. Доказать неравенство: $(x^2+1)(y^2-2y+4) \geqslant 6x$ ($x > 0$).

4300. Доказать, что $\displaystyle x^3+\frac{9}{x^3} \geqslant 6$ (при $x \neq 0$).

4301. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение (при необходимости округлите до сотых) случайной величины, заданной рядом распределения: $\displaystyle \xi \sim \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0{,}1 & p_2 & 0{,}4 & 0{,}1 & 0{,}2 \end{pmatrix}$.

4302. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение (при необходимости округлите до сотых) случайной величины, заданной рядом распределения: $\displaystyle \xi \sim \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}1 & p_4 & 0{,}1 \end{pmatrix}$.

4303. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение (при необходимости округлите до сотых) случайной величины, заданной рядом распределения: $\displaystyle \xi \sim \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}5 & p_4 & 0{,}1 \end{pmatrix}$.

4304. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение (при необходимости округлите до сотых) случайной величины, заданной рядом распределения: $\displaystyle \xi \sim \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}3 & p_4 & 0{,}1 \end{pmatrix}$.

4305. Случайная величина задана рядом распределения: $\displaystyle \xi \sim \begin{pmatrix}-3 & a & 1 & 3 & b \\ 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}3 \end{pmatrix}$. Найти $a$ и $b$, если математическое ожидание равно $M[\xi]=2{,}2$, дисперсия равна $D[\xi]=6{,}56$.

4306. Случайная величина задана рядом распределения: $\displaystyle \xi \sim \begin{pmatrix}a & -1 & b & 3 & 5 \\ 0{,}2 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}4 & 0{,}1 \end{pmatrix}$. Найти $a$ и $b$, если математическое ожидание равно $M[\xi]=1{,}2$, среднеквадратическое отклонение равно $\sigma_{\xi}=2{,}6$.

4307. Случайная величина задана рядом распределения: $\displaystyle \xi \sim \begin{pmatrix}-4 & a & 2 & b & 8 \\ 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}4 & 0{,}2 \end{pmatrix}$. Найти $a$ и $b$, если математическое ожидание равно $M[\xi]=3{,}5$, дисперсия равна $D[\xi]=13{,}05$.

4308. Случайная величина задана рядом распределения: $\displaystyle \xi \sim \begin{pmatrix}a & 1 & b & 7 & 10 \\ 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}3 \end{pmatrix}$. Найти $a$ и $b$, если математическое ожидание равно $M[\xi]=3{,}7$, дисперсия равна $D[\xi]=24{,}21$.

4309. Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины, заданной функцией распределения: $F_{\xi}(x)=\left\{\begin{aligned} &0, &\text{если}~x < -1; \\ &0{,}2, &\text{если}~-1 \leqslant x < 1; \\ &0{,}7, &\text{если}~1 \leqslant x < 3; \\ &1, &\text{если}~x \geqslant 3. \end{aligned}\right.$