Координатно-векторный метод

Номер страницы:  1  2

1043. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=7$, $AA_1=8$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=4$, $CM=6$ и $CK=3$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1044. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=7$, $AD=12$, $AA_1=8$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=6$, $CM=8$ и $CK=3$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1045. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=8$, $AA_1=12$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=3$, $CM=4$ и $CK=3$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1046. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=7$, $AD=8$, $AA_1=9$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=5$, $CM=5$ и $CK=3$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1047. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=9$, $AA_1=7$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=3$, $CM=6$ и $CK=2$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1048. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=7$, $AD=11$, $AA_1=12$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=3$, $CM=3$ и $CK=2$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1049. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=9$, $AA_1=12$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=4$, $CM=6$ и $CK=4$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1050. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=7$, $AD=11$, $AA_1=9$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=6$, $CM=6$ и $CK=3$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1051. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=10$, $AA_1=7$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=3$, $CM=2$ и $CK=1$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1052. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=7$, $AD=11$, $AA_1=6$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=6$, $CM=6$ и $CK=2$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1053. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=10$, $AA_1=8$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=3$, $CM=5$ и $CK=2$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1054. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=7$, $AD=10$, $AA_1=11$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=6$, $CM=4$ и $CK=3$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1055. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=10$, $AA_1=9$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=3$, $CM=4$ и $CK=2$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1056. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=7$, $AD=9$, $AA_1=12$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=4$, $CM=4$ и $CK=3$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1057. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=10$, $AA_1=11$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=4$, $CM=8$ и $CK=4$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1058. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=7$, $AD=8$, $AA_1=11$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=3$, $CM=6$ и $CK=3$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1059. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=11$, $AA_1=7$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=4$, $CM=2$ и $CK=1$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1060. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=11$, $AA_1=10$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=4$, $CM=6$ и $CK=3$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1061. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=12$, $AA_1=11$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=4$, $CM=3$ и $CK=2$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1062. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB=6$, $AD=12$, $AA_1=10$ на ребрах $BC$, $CD$ и $CC_1$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, так, что $CN=2$, $CM=6$ и $CK=2$. Доказать, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда параллельна плоскости $(MKN)$.

1124. На диагоналях $D_{1}A$, $A_{1}B$, $B_{1}C$, $C_{1}D$ граней куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ взяты соответственно точки $M$, $N$, $P$, $Q$, причём $$ D_{1}M:D_{1}A=BN:BA_{1}=B_{1}P:B_{1}C=DQ:DC_{1}=\mu, $$ а прямые $MN$ и $PQ$ взаимно перпендикулярны. Найдите $\mu$.

1125. В правильном тетраэдре $ABCD$ с ребром $a$ точка $M$ — середина $AB$, $K$ — середина $CD$. Найдите угол и расстояние между прямыми $CM$ и $BK$. В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезок $CM$ и $BK$?

1126. В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ плоскости $\alpha$ проходит через диагональ $A_{1}C_{1}$ грани куба и середину ребра $DD_{1}$. Найдите расстояние от середины ребра $CD$ до плоскости $\alpha$, если ребро куба равно 4.

1139. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ известно, что $AB=3$, $BC=2$, $CC_{1}=4$. На ребре $AB$ взята точка $M$, причём $AM:MB=1:2$; $K$ — точка пересечения диагоналей грани $CC_{1}D_{1}D$. Найдите угол и расстояние между прямыми $D_{1}M$ и $B_{1}K$.

1140. Основанием пирамиды $SABC$ является равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$, гипотенуза $AB$ которого равна $4\sqrt{2}$. Боковое ребро пирамиды $SC$ перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $S$ и середину ребра $AC$, а другая проходит через точку $C$ и середину ребра $AB$.

1141. На рёбрах $NN_{1}$ и $KN$ куба $KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}$ отмечены точки $P$ и $Q$, причём $\displaystyle\frac{KQ}{QN}=\frac{1}{4}$, $\displaystyle\frac{NP}{PN_{1}}=4$. Через точки $M_{1}$, $P$ и $Q$ проведена плоскость. Найдите расстояние от точки $K$ до этой плоскости, если ребро куба равно 3.

5318. Уравнение плоскости в отрезках. Плоскость задана уравнением $Ax+By+Cz+D=0$, причём числа $A$, $B$, $C$ и $D$ отличны от нуля. Докажите, что тогда уравнение плоскости можно записать в виде $\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1$, где $P(p;0;0)$, $Q(0;q;0)$ и $R(0;0;r)$ — точки пересечения плоскости с координатными осями.

5319. В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, где $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ и $DD_{1}$ — параллельные рёбра, плоскость $P$ проходит через диагональ $A_{1}C_{1}$ грани куба и середину ребра $DD_{1}$. Найдите расстояние от середины ребра $CD$ до плоскости $P$, если ребро куба равно 4.

5320. В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, где $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ и $DD_{1}$ — параллельные рёбра, плоскость $P$ проходит через диагональ $A_{1}C_{1}$ грани куба и середину ребра $AD$. Найдите расстояние от середины ребра $AB$ до плоскости $P$, если ребро куба равно 3.

5321. Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a$. Пусть $M$ — такая точка на ребре $A_{1}D_{1}$, для которой $A_{1}M:MD_{1}=1:2$. Найдите периметр треугольника $AB_{1}M$, а также расстояние от вершины $A_{1}$ до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.