Подобные треугольники

Признаки подобия. Обобщённая теорема Фалеса. Теорема Чевы. Теорема Менелая.

Номер страницы: 1 2 3

4077. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $DM:MC=3:4$. Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $O$. Найти отношение $OD:OB$.

4078. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $DM:MC=2:3$. Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $O$. Найти отношение $OM:AO$.

4079. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $DM:MC=3:2$. Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $O$. Найти отношение $OD:OB$.

4080. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $DM:MC=3:5$. Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $O$. Найти отношение $OM:AO$.

4081. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:2$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=2:1$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.

4082. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=2:3$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=1:2$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.

4083. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=1:3$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=3:2$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.

4084. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:1$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=3:2$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.

4085. В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=4$, $AC=15$ и $AB=13$ проведены биссектрисы $AM$ и $BK$, пересекающиеся в точке $O$. Найти: а) отношение $AO:OM$, б) отношение $BO:OK$, в) площадь четырёхугольника $OMCK$.

4086. В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=4$, $AC=13$ и $AB=15$ проведены биссектрисы $AM$ и $BK$, пересекающиеся в точке $O$. Найти: а) отношение $AO:OM$, б) отношение $BO:OK$, в) площадь четырёхугольника $OMCK$.

4087. В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=15$, $AC=13$ и $AB=4$ проведены биссектрисы $AM$ и $BK$, пересекающиеся в точке $O$. Найти: а) отношение $AO:OM$, б) отношение $BO:OK$, в) площадь четырёхугольника $OMCK$.

4088. В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=13$, $AC=15$ и $AB=4$ проведены биссектрисы $AM$ и $BK$, пересекающиеся в точке $O$. Найти: а) отношение $AO:OM$, б) отношение $BO:OK$, в) площадь четырёхугольника $OMCK$.

4089. Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 8. Найти стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен 60.

4090. Дан треугольник со сторонами 15, 21 и 24. Найти стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен 20.

4091. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $AM:MB=2:3$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$ и пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найти отношение площадей треугольника $BMK$ и трапеции $AMKC$.

4092. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $AM:MB=3:2$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$ и пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найти отношение площадей треугольника $BMK$ и трапеции $AMKC$.

4093. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $AM:MB=3:1$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$ и пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найти отношение площадей треугольника $BMK$ и трапеции $AMKC$.

4094. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $AM:MB=4:3$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$ и пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найти отношение площадей треугольника $BMK$ и трапеции $AMKC$.

4095. Дан треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Найти стороны треугольника, подобного данному, если его площадь равна 96.

4096. Дан прямоугольник со сторонами 4 и 7. Найти стороны прямоугольника, подобного данному, если его площадь равна 700.

4097. Дан треугольник со сторонами 9, 12 и 15 ($9^2+12^2=15^2$). Найти стороны треугольника, подобного данного, если его площадь равна 24.

4128. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Через точку $D$ параллельно стороне $AB$ проведена прямая, пересекающая сторону $AC$ в точке $E$. Найти $DE$, если $AB=6$ и $AC=10$.

4129. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапеции, площади которых относятся как $2:1$, считая от вершины. В каком отношении эта прямая делит боковую сторону треугольника?

4130. Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) равна $48$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, площадь треугольника $AOB$ равна $9$. Найти отношение оснований трапеции.

4131. Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD=3\,BC$) равна $56$. На середине стороны $CD$ взята точка $M$, отрезок $AM$ и диагональ $BD$ пересекаются в точке $P$. Найти: а) $BP:PD$; б) $AP:PM$; в) $S_{BPMC}$.

4132. Площадь треугольника $ABC$ равна 18. На стороне $BC$ взята точка $M$, и через неё проведены прямые, параллельные $AB$ и $AC$, пересекающие стороны $AC$ и $AB$ в точках $L$ и $K$ соответственно. Площадь параллелограмма $AKML$ равна 5. Найти $BM:MC$.

4133. В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 вписан прямоугольник с периметром 24 так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника, а две вершины — на двух других сторонах треугольника. Найдите стороны прямоугольника.

4134. Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) равна $32$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, площадь треугольника $AOB$ равна $6$. Найти отношение оснований трапеции.

4135. Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) равна $27$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, площадь треугольника $AOB$ равна $6$. Найти отношение оснований трапеции.

4136. Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) равна $45$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, площадь треугольника $AOB$ равна $10$. Найти отношение оснований трапеции.