Тела вращения

Номер страницы:  1  2

4642. Высота конуса равна 20, радиус основания равен 25. Найдите площадь сечения, проведённого через вершину, если его расстояние от центра основания конуса равно 12.

4643. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан конус. Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади его боковой поверхности, если сторона основания пирамиды равна 4, а угол между высотой пирамиды и плоскостью боковой грани равен $30^{\circ}$.

4644. Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды равен $2\alpha$. Высота пирамиды равна $h$. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

4645. Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2. Через вершину конуса проведено сечение, образующее угол $\alpha$ с плоскостью основания. Найдите площадь сечения.

4646. Из круга вырезан сектор, представляющий собой четверть круга. Из этого сектора и из оставшейся части круга изготовлены боковые поверхности двух конусов. Найдите отношение высот этих конусов.

4647. Радиус основания конуса с вершиной $S$ и центром основания $O$ равен 5, а его высота равна $\sqrt{51}$. Точка $M$ — середина образующей $SA$ конуса, а точки $N$ и $B$ лежат на основании конуса, причём прямая $MN$ параллельна образующей конуса $SB$.
а) Докажите, что угол $ANO$ — прямой.
б) Найдите угол между прямой $BM$ и плоскостью основания конуса, если $AB=8$.

4648. Угол в развёртке боковой поверхности конуса равен $120^{\circ}$. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

4649. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если известно, что на его поверхности можно провести три попарно перпендикулярные образующие.

4650. Радиус основания конуса с вершиной $P$ равен 6, а длина его образующей равна 7. На окружности основания конуса выбраны точки $A$ и $B$, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как $1:2$.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $P$.
б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью $ABP$.

4651. Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса под углом $30^{\circ}$ к его оси, равна площади осевого сечения. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

6281. Вокруг куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ описана сфера. На ребре $CC_{1}$ взята точка $M$, при этом плоскость $ABM$ образует угол $15^{\circ}$ с плоскостью $ABC$.
а) Докажите, что расстояние от центра сферы до плоскости $ABM$ вдвое меньше радиуса окружности, описанной около грани куба.
б) Найдите длину линии пересечения плоскости $ABM$ и сферы, если ребро куба равно 2.

6282. Точка $P$ лежит на диаметре $AB$ сферы. При этом $AP:PB=3:1$. Через прямую $AB$ проведена плоскость $\alpha$, а через точку $P$ — плоскость $\beta$, перпендикулярная $AB$. Отрезок $CD$ — общая хорда окружностей сечений сферы эти плоскостями, $S$ — окружность пересечения сферы с плоскостью $\beta$, $M$ — точка, лежащая на окружности $S$.
а) Докажите, что $AM=CD$.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной $M$ и основанием $ACBD$, если диаметр сферы равен 12, а $M$ — наиболее удалённая от плоскости $\alpha$ точка окружности $S$.

6283. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_{1}$ и $C_{1}$, причём $BB_{1}$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_{1}$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что прямые $AB$ и $B_{1}C_{1}$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $AC_{1}$ и $BB_{1}$, если $AB=12$, $B_{1}C_{1}=9$.

6284. Радиус основания конуса с вершиной $S$ и центром основания $O$ равен 5, а его высота равна $\sqrt{51}$. Точка $M$ — середина образующей $SA$ конуса, а точки $N$ и $B$ лежат на основании конуса, причём прямая $MN$ параллельна образующей конуса $SB$.
а) Докажите, что угол $ANO$ — прямой.
б) Найдите угол между прямой $BM$ и плоскостью основания конуса, если $AB=8$.

6285. Одно основание цилиндра лежит в плоскости основания правильной треугольной пирамиды, а окружность второго вписана в сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину её высоты.
а) Докажите, что радиус основания цилиндра в шесть раз меньше высоты основания пирамиды.
б) Найдите отношение объёмов цилиндра и пирамиды.

6305. Шар вписан в прямую четырёхугольную призму
а) Докажите, что суммы площадей противоположных боковых граней призмы равны.
б) Найдите отношение объёмов шара и призмы, если периметр основания призмы в четыре раза больше диаметра шара.

6306. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_{1}$, причём $CC_{1}$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC$ — диаметр основания. Известно, что $AB=\sqrt{6}$, $CC_{1}=2\sqrt{3}$, $\angle ACB=30^{\circ}$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_{1}$ и $BC$ равен $45^{\circ}$.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_{1}$.

6307. Радиус основания конуса с вершиной $P$ равен 6, а длина его образующей равна 7. На окружности основания конуса выбраны точки $A$ и $B$, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как $1:2$.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $P$.
б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью $ABP$.

6308. Плоскость $\alpha$ проходит через диаметр $AB$ сферы. Через точку $B$ проведена плоскость, касательная к сфере. На этой плоскости взята точка $K$, причём отрезок $KB$ равен радиусу сферы. Луч $AK$ пересекает сферу в точке $M$. Через точку $M$ проведена плоскость $\beta$, перпендикулярная прямой $AB$. Отрезок $CD$ — общая хорда окружностей сечений сферы плоскостями $\alpha$ и $\beta$.
а) Докажите, что $CD$ — диаметр окружности сечения сферы плоскостью $\beta$.
б) Вершина конуса совпадает с точкой $B$, а окружность основания — с окружностью сечения сферы плоскостью $\beta$. Найдите объём конуса, если радиус сферы равен 5.

6469. Высота конуса 12, радиус основания $9{,}75$. Найти расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, проходящего через вершину конуса и хорду в окружности основания, если длина этой хорды $7{,}5$.

6470. Высота конуса 9, радиус основания $13$. Найти расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, проходящего через вершину конуса и хорду в окружности основания, если длина этой хорды $10$.

6471. Радиус цилиндра 37, высота 50. Найти угол, который с плоскостью основания цилиндра составляет плоскость, проходящая через хорды в окружностях верхнего и нижнего оснований цилиндра, если длины этих хорд 24 и 70. Рассмотреть оба варианта расположения такой плоскости.

6472. Радиус цилиндра 35, высота 50. Найти угол, который с плоскостью основания цилиндра составляет плоскость, проходящая через хорды в окружностях верхнего и нижнего оснований цилиндра, если длины этих хорд 42 и 56. Рассмотреть оба варианта расположения такой плоскости.

6473. По условию первой задачи найти площадь сечения цилиндра данной плоскостью.

6474. Косинус угла при вершине осевого сечения конуса равен $\displaystyle\frac{7}{8}$. Во сколько раз площадь полной поверхности такого конуса больше площади его основания? Найти угол в развёртке боковой поверхности конуса.

6475. Косинус угла при вершине осевого сечения конуса равен $\displaystyle\frac{7}{9}$. Во сколько раз площадь полной поверхности такого конуса больше площади его основания? Найти угол в развёртке боковой поверхности конуса.

6701. Высота цилиндра на 3 больше его радиуса, а площадь полной поверхности цилиндра равна $88\pi$. Найти высоту цилиндра.

6702. Высота цилиндра на 3 больше его радиуса, а площадь полной поверхности цилиндра равна $130\pi$. Найти высоту цилиндра.

6703. Высота цилиндра на 3 больше его радиуса, а площадь полной поверхности цилиндра равна $180\pi$. Найти высоту цилиндра.

6704. Высота цилиндра на 7 больше его радиуса, а площадь полной поверхности цилиндра равна $78\pi$. Найти высоту цилиндра.