Интегрирование рациональных функций
См. также «Разложение дроби на простейшие».



Решение. Разложив знаменатель на множители, получим: $\displaystyle\int\frac{(5x-9)\,dx}{x^2-2x-15}=\int\frac{(5x-9)\,dx}{(x+3)(x-5)}$.
Будем искать разложение подынтегральной функции на простейшие дроби в виде $\displaystyle\frac{5x-9}{(x+3)(x-5)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-5}=\frac{A(x-5)+B(x+3)}{(x+3)(x-5)}=\frac{Ax-5A+Bx+3B}{(x+3)(x-5)}=\frac{(A+B)x-(5A-3B)}{(x+3)(x-5)}$, то есть $A+B=5$ и $5A-3B=9$, откуда $A=3$ и $B=2$.
Окончательно имеем: $\displaystyle\int\frac{(5x-9)\,dx}{x^2-2x-15}=\int\left(\frac{3}{x+3}+\frac{2}{x-5}\right)=3\ln|x+3|+2\ln|x-5|+C.$
Ответ: $3\ln|x+3|+2\ln|x-5|+C$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 9 10 11 12 13 14 15


Ответ: $3\,\log \left|x+5\right|+2\,\log \left|x+4\right|$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 9 10 11 12 13 14 15


Ответ: $4\,\log \left|x+5\right|+2\,\log \left|x-3\right|$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 9 10 11 12 13 14 15


Ответ: $5\,\log \left|x-3\right|-3\,\log \left|x+1\right|$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 9 10 11 12 13 14 15


Ответ: $4\,\log \left|x+3\right|+3\,\log \left|x+2\right|$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 9 10 11 12 13 14 15


Ответ: $4\,\log \left|x+5\right|+5\,\log \left|x-3\right|$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 9 10 11 12 13 14 15


Ответ: $6\,\log \left|x+4\right|+7\,\log \left|x-3\right|$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 9 10 11 12 13 14 15


Ответ: $\displaystyle \frac13x^3+3\ln|x+2|-2\ln|x+1|+\ln|x-1|+C$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-22 22:50:27
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $\displaystyle\frac12x^2-4\ln|x+2|+2\ln|x+1|-\ln|x-2|+C$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-22 22:56:44
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $\displaystyle 3\ln|x+2|+\frac{1}{x-1}+C$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-22 22:59:13
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $\displaystyle \ln|x-2|-\frac{2}{x+1}+C$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-22 23:01:11
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $\ln(x^2+1)+\text{arctg}\,x+\ln|x-1|+C$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-22 23:05:29
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $\displaystyle\frac12\text{arctg}\,\frac{x}{2}+3\ln|x+1|+\frac12\ln(x^2+4)+C$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-22 23:31:52
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $\displaystyle \ln|x-1|+\ln(x^2-2x+2)+\text{arctg}\,(x-1)+C$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-22 23:53:30
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $\displaystyle \ln(x^2+2x+5)+\frac12\text{arctg}\,\frac{x+1}{2}-\ln|x-1|+C$.
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-11-22 23:55:47
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru