

Ответ: $3x+4y+5z=26$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $\displaystyle x-3=-y-2=\frac{z-5}{2}$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru



Решение. Найдем угол между направляющим вектором этой прямой $\vec l=(1,~-1,~0)$ и нормальным вектором плоскости $\vec n=(1,~-2,~-1)$: $$\cos \varphi=\frac{\vec l \, \vec n}{|\vec l|\,|\vec n|}=\frac{1\cdot1+(-1)\cdot(-2)}{\sqrt{1^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2}}=\frac{3}{\sqrt2\cdot\sqrt6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$ Следовательно, $\varphi=30^\circ$. Угол, дополняющий $\varphi$ до $90^\circ$, и будем искомым углом между прямой и плоскостью.
Ответ: 60°
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: 30°
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru



Решение. Подставив данные параметрические выражения для прямой в уравнение плоскости, получим уравнение относительно $t$: $$2(2t-1)+3(1-t)-2(3t+1)+11=0,$$ решив которое, найдем $t=2$. Подставив найденное $t=2$ в уравнения прямой, получим координаты точки пересечения.
Ответ: $(3,~-1,~7)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $(2,~3,~1)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru



Решение. Найдем нормальный вектор плоскости как вектор, ортогональный векторам $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$, лежащим в этой плоскости. Для этого найдем их векторное произведение: $$\vec n=\overline{AB}\times\overline{AC} = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ -2-1 & 1-(-1) & 3-1 \\ 4-1 & -5-(-1) & -2-1 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ -3 & 2 & 2 \\ 3 & -4 & -3 \\ \end{vmatrix}=2\vec\imath-3\vec\jmath+6\vec k.$$ Осталось составить уравнение плоскости, проходящей через точку $A(1,~-1,~1)$ перпендикулярно вектору $\vec n=(2,~-3,~6)$: $$2(x-1)+(-3)(y-(-1))+6(z-1)=0,$$ откуда, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим общее уравнение плоскости: $2x-3y+6z-11=0$.
Ответ: $2x-3y+6z-11=0$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: 4
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: 2
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru



Решение. Составим сперва параметрические уравнения прямой $AC$, на которую падает искомая высота. В качестве направляющего вектора прямой $AC$ можно взять какой-нибудь вектор, коллинеарный вектору $\overline{AC}=(7-(-2),~-3-0,~4-1)=(9,~-3,~3)$. К примеру, таковым является вектор $l=(3,~-1,~1)$. Теперь составим уравнения прямой $AC$, проходящей через точку $A(-2,~0,~1)$ параллельно вектору $l=(3,~-1,~1)$: $$ \begin{aligned} &x = -2+3t, \\ &y = -t, \\ &z = 1+t. \\ \end{aligned} $$ Найдем теперь на прямой $AC$ найти такую $D$, что $BD \bot \vec l$. Так как $D\in AC$, то будем искать координаты точки $D$ в виде $D(-2+3t,~-t,~1+t)$. Тогда $\overline{BD}=(-2+3t-4,~-t-(-1),~1+t-4)=(3t-6,~1-t,~t-3)$. Так как векторы $BD$ и $\vec l$ ортогональны, их скалярное произведение равно нулю. Составим соответствующее уравнение: $$\overline{BD}\cdot\vec l=3(3t-6)+(-1)(1-t)+(t-3)=11t-22=0,$$ откуда $t=2$. При $t=2$ точка $D$ имеет координаты $D(4,~-2,~3)$. Осталось составить уравнение прямой $BD$, проходящей через точки $B(4,~-1,~4)$ и $D(4,~-2,~3)$. Самостоятельно закончите решение задачи.
Ответ: $\displaystyle \frac{x-4}{0}=y+1=z-4$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: 6
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru



Решение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые. Чтобы составить уравнение одной из таких плоскостей, найдем её нормальный вектор, для чего вычислим векторное произведение направляющих векторов данных прямых: $$ \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 3 & 4 & -2 \\ 6 & -4 & -1 \\ \end{vmatrix}=-12\vec\imath-9\vec\jmath-36\vec k. $$ В качестве нормального вектора искомой плоскости возьмем вектор $\vec n=(4,~3,~12)$, коллинеарный найденному $\overline{(-12,~-9,~-36)}$. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку $A(-7,~-4,~-3)$ (эта точка лежит на первой прямой из условия задачи) перпендикулярно вектору $\vec n=(4,~3,~12)$: $$4(x-(-7))+3(y-(-4)+12(z-(-3))=0,$$ откуда $4x+3y+12z+76=0$. Плоскость, уравнение которой мы составили, содержит первую прямую и параллельна второй. Осталось найти расстояние от точки $B(21,~-5,~2)$ (эта точка лежит на второй прямой из условия задачи) до плоскости $4x+3y+12z+76=0$. Самостоятельно закончите решение задачи.
Ответ: 13
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: 7
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Найти расстояние от точки $M(3;~7;~4\sqrt3)$ до плоскости $(ABC)$.
Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MO$ на плоскость $(ABC)$. Найти координаты точки $O$.


Ответ: $2x+3y+2\sqrt3z-1=0$; 10; $O(-1;~1;~0)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $-5$, $3$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Найти расстояние от точки $M(5;~-2;~2)$ до плоскости $(ABC)$.
Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MO$ на плоскость $(ABC)$. Найти координаты точки $O$.


Ответ: $2x-6y+9z+81=0$; 11; $O(3;~4;~-7)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru



Решение. Указание. Векторы компланарны, если $(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=0$, то есть векторное произведение любых двух векторов ортогонально третьему.
Ответ: $3$, $57$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Найти расстояние от точки $M(5;~3;~3\sqrt3)$ до плоскости $(ABC)$.
Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MO$ на плоскость $(ABC)$. Найти координаты точки $O$.


Ответ: $3x+2y+\sqrt3z+18=0$; 12; $O(-4;~-3;~0)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Найти расстояние от точки $M(4;~12;~2\sqrt5)$ до плоскости $(ABC)$.
Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MO$ на плоскость $(ABC)$. Найти координаты точки $O$.


Ответ: $7x+10y+2\sqrt5z+1=0$; 13; $O(-3;~2;~0)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $A'(6,~7,~4)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 1016 1017 1022 1024 1026 1029 1031 1032 1039


Ответ: $A'(0,~3,~10)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 1016 1017 1022 1024 1026 1029 1031 1032 1039


Ответ: $(14,~-5,~9)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 1018 1042
а) Найти координаты точки $B'$, в которую перейдет точка $B(2,~0,~-1)$ при зеркальной симметрии относительно той же плоскости $\alpha$.
б) Найти точку $C'$, в которую перейдет точка $C(10,~-4,~3)$ при симметрии относительно $\alpha$.
в) Найти точку $D'$, в которую перейдет точка $D(6,~-4,~5)$ при симметрии относительно $\alpha$.



Решение. Указание. Как бы ни были похожи формулировки, это три разные задачи, при решении которых следует проводить разные рассуждения. При решении пункта а) полезно заметить, что $AB\bot AA'$; это позволяет не выписывать уравнение плоскости симметрии. Если с пунктом а) вы уже справились и нашли координаты точки $B'$, то при решении пункта б) можно заметить, что $C$ лежит на прямой $BB'$.
Ответ: $B'(6,~-2,~1)$, $C'(-2,~2,~-3)$, $D'(-2,~0,~1)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 1019 1023 1027 1030 1034 1040


Ответ: $3x-y-z-1=0$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $3x-y-z-1=0$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $(9,~2,~7)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 1016 1017 1022 1024 1026 1029 1031 1032 1039


Ответ: $(6,~8,~10)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 1019 1023 1027 1030 1034 1040


Ответ: $(11,~1,~6)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 1016 1017 1022 1024 1026 1029 1031 1032 1039


Ответ: Да, верно
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru


Ответ: $(9,~-2,~9)$
Открыть раздел с этой задачей
Кем и когда добавлена: dvmoiseev (Моисеев Д. В.) 2016-09-01 00:00:00
Источник: «Сборник задач по математике» — Интернет-ресурс http://mathproblems.ru
Группа аналогичных задач: 1016 1017 1022 1024 1026 1029 1031 1032 1039