Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. На отрезках $AB_{1}$ и $BC_{1}$ взяты точки $P$ и $Q$, причём $AP:PB_{1}=C_{1}Q:QB=2:1$. Докажите, что отрезок $PQ$ перпендикулярен прямым $AB_{1}$ и $C_{1}B$, и найдите его длину, если ребро куба равно $\sqrt{3}$.
Ответ:
Решение:
а) Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, $O$ — произвольная точка. Докажите, что $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).$$
б) Дан тетраэдр $ABCD$, в котором $AB=BD=3$, $AC=CD=5$, $AD=BC=4$. Найдите $AM$, где $M$ — точка пересечения медиан грани $BCD$.
Ответ:
Решение:
а) Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, $O$ — произвольная точка. Докажите, что $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).$$
б) В тетраэдре $ABCD$ известно, что $AB=3$, $BC=4$, $AC=5$, $AD=DB=2$, $DC=4$. Найдите медиану тетраэдра, проведённую из вершины $D$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, в котором $AB=4$, $AD=6$, $AA_{1}=2$. Точки $F$ и $K$ расположены на рёбрах $AD$ и $B_{1}C_{1}$ соответственно, причём $AF:FD=C_{1}K:KB_{1}=1:2$, $P$ — точка пересечения диагоналей грани $ABCD$. Найдите угол между прямыми $PK$ и $B_{1}F$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, в котором $AB=4$, $AD=2$, $AA_{1}=6$. Точка $N$ — середина ребра $CD$, точка $M$ расположена на ребре $CC_{1}$, причём $C_{1}M:CM=1:2$, $K$ — точка пересечения диагоналей грани $AA_{1}D_{1}D$. Найдите угол между прямыми $KM$ и $A_{1}N$.
Ответ:
Решение:
На медиане $SM$ пирамиды $SABC$ взята точка $K$ так, что $SK:KM=1:3$. Через векторы $\vec{a}=\overline{AB}$, $\vec{b}=\overline{AC}$ и $\vec{c}=\overline{AS}$ выразить векторы $\overline{AK}$ и $\overline{SB}$. С помощью векторов найти угол между прямыми $AK$ и $SB$, если $AB=BC=AC=1$ и $SA=SB=SC=2$.
Ответ:
Решение:
На медиане $SM$ пирамиды $SABC$ взята точка $K$ так, что $SK:KM=3:1$. Через векторы $\vec{a}=\overline{AB}$, $\vec{b}=\overline{AC}$ и $\vec{c}=\overline{AS}$ выразить векторы $\overline{AK}$ и $\overline{SC}$. С помощью векторов найти угол между прямыми $AK$ и $SC$, если $AB=BC=AC=1$ и $SA=SB=SC=2$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ все рёбра равны. На середине высоты $SO$ пирамиды взята точка $M$. Найти угол между плоскостью основания пирамиды и плоскостью, проходящей через точки $B$ и $M$ параллельно прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ все рёбра равны. На середине бокового ребра $SD$ взята точка $M$. Найти угол между плоскостью основания пирамиды и плоскостью, проходящей через точки $B$ и $M$ параллельно прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на середине ребра $CC_1$ взята точка $M$.
а) Найти площадь сечения куба плоскостью $(BMD_1)$, если ребро куба равно 2.
б) Найти угол между плоскостью $(BMD_1)$ и прямой $AB$.
а) Найти площадь сечения куба плоскостью $(BMD_1)$, если ребро куба равно 2.
б) Найти угол между плоскостью $(BMD_1)$ и прямой $AB$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на середине ребра $CC_1$ взята точка $M$, на середине ребра $C_1D_1$ взята точка $K$.
а) Найти площадь сечения куба плоскостью $(BMK)$, если ребро куба равно 2.
б) Найти угол между плоскостью $(BMK)$ и прямой $AB$.
а) Найти площадь сечения куба плоскостью $(BMK)$, если ребро куба равно 2.
б) Найти угол между плоскостью $(BMK)$ и прямой $AB$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$, на ребре $C_1D_1$ взята точка $K$ так, что $D_1K:KC_1=1:2$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:2$, на ребре $C_1D_1$ взята точка $K$ так, что $D_1K:KC_1=1:2$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:2$, на середине ребра $C_1D_1$ взята точка $K$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$, на середине ребра $C_1D_1$ взята точка $K$. Найти косинус угла между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a=\sqrt{30}$. Точка $E$ — середина ребра $AD$. Вершины $M$ и $N$ правильного тетраэдра $MNPQ$ лежат на прямой $ED_{1}$, а вершины $P$ и $Q$ — на прямой, проходящей через точку $A_{1}$ и пересекающей прямую $BC$ в точке $R$. Найдите
а) отношение $BR:BC$;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
а) отношение $BR:BC$;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
Ответ:
Решение:
Основание прямой треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $AC=BC=a$. Вершины $M$ и $N$ правильного тетраэдра $MNPQ$ лежат на прямой $CA_{1}$, а вершины $P$ и $Q$ — на прямой $AB_{1}$. Найдите:
а) объём призмы;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
а) объём призмы;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a$. Точка $E$ — середина ребра $AD$. Вершины $M$ и $N$ правильного тетраэдра $MNPQ$ лежат на прямой $ED_{1}$, а вершины $P$ и $Q$ — на прямой, проходящей через точку $A_{1}$ и пересекающей прямую $BC$ в точке $R$. Найдите
а) отношение $BR:BC$;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
а) отношение $BR:BC$;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Известно, что её высота относится к стороне основания как $\sqrt{3}:2$. Найдите угол между плоскостью $ASD$ и прямой, проходящей через точку $B$ и середину ребра $SD$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с рёбрами $AB=2$, $AD=4$, $AA_{1}=6$. Найдите расстояние от середины ребра $D_{1}C_{1}$ до плоскости, проходящей через середины рёбер $AB$, $AD$ и $CC_{1}$.
Ответ:
Решение: