В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_{1}$ и $C_{1}$, причём $BB_{1}$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_{1}$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что прямые $AB$ и $B_{1}C_{1}$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $AC_{1}$ и $BB_{1}$, если $AB=12$, $B_{1}C_{1}=9$.
а) Докажите, что прямые $AB$ и $B_{1}C_{1}$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $AC_{1}$ и $BB_{1}$, если $AB=12$, $B_{1}C_{1}=9$.
Ответ:
Решение:
Одно основание цилиндра лежит в плоскости основания правильной треугольной пирамиды, а окружность второго вписана в сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину её высоты.
а) Докажите, что радиус основания цилиндра в шесть раз меньше высоты основания пирамиды.
б) Найдите отношение объёмов цилиндра и пирамиды.
а) Докажите, что радиус основания цилиндра в шесть раз меньше высоты основания пирамиды.
б) Найдите отношение объёмов цилиндра и пирамиды.
Ответ:
Решение:
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_{1}$, причём $CC_{1}$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC$ — диаметр основания. Известно, что $AB=\sqrt{6}$, $CC_{1}=2\sqrt{3}$, $\angle ACB=30^{\circ}$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_{1}$ и $BC$ равен $45^{\circ}$.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_{1}$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_{1}$ и $BC$ равен $45^{\circ}$.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_{1}$.
Ответ:
Решение:
Радиус цилиндра 37, высота 50. Найти угол, который с плоскостью основания цилиндра составляет плоскость, проходящая через хорды в окружностях верхнего и нижнего оснований цилиндра, если длины этих хорд 24 и 70. Рассмотреть оба варианта расположения такой плоскости.
Ответ:
Решение:
Радиус цилиндра 35, высота 50. Найти угол, который с плоскостью основания цилиндра составляет плоскость, проходящая через хорды в окружностях верхнего и нижнего оснований цилиндра, если длины этих хорд 42 и 56. Рассмотреть оба варианта расположения такой плоскости.
Ответ:
Решение:
Высота цилиндра на 3 больше его радиуса, а площадь полной поверхности цилиндра равна $88\pi$. Найти высоту цилиндра.
Ответ:
Решение:
Высота цилиндра на 3 больше его радиуса, а площадь полной поверхности цилиндра равна $130\pi$. Найти высоту цилиндра.
Ответ:
Решение:
Высота цилиндра на 3 больше его радиуса, а площадь полной поверхности цилиндра равна $180\pi$. Найти высоту цилиндра.
Ответ:
Решение:
Высота цилиндра на 7 больше его радиуса, а площадь полной поверхности цилиндра равна $78\pi$. Найти высоту цилиндра.
Ответ:
Решение:
Радиус цилиндра равен 13. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, равна 168. Найти высоту цилиндра, если расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости равно 5.
Ответ:
Решение:
Радиус цилиндра равен 17. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, равна 240. Найти высоту цилиндра, если расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости равно 8.
Ответ:
Решение:
Радиус цилиндра равен 25. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, равна 432. Найти высоту цилиндра, если расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости равно 7.
Ответ:
Решение:
Радиус цилиндра равен 10. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, равна 160. Найти высоту цилиндра, если расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости равно 6.
Ответ:
Решение: