Множество вертикальных и горизонтальных параллельных прямых разбивают плоскость на бесконечное число равных прямоугольников со сторонами $1$ и $\sqrt3$. Пусть $A$ — одна из точек пересечения прямых. Рассмотрим множество всех равносторонних треугольников с вершиной в точке $A$ и двумя другими вершинами, расположенными в точках пересечения прямых. Какое минимальное значение может принимать площадь таких треугольников? Сколько треугольников из этого множества имеет площадь $39\sqrt3$?
Ответ:
Решение:
Сколько точек пространства с целочисленными координатами принадлежат треугольнику с вершинами $(3,4,5)$, $(11,10,6)$, $(5,8,9)$? Точки на вершинах и сторонах тоже считаются.
Ответ:
Решение:
Назовём точку на плоскости узлом, если обе её координаты — целые числа. Дан треугольник с вершинами в узлах, внутри него расположено не меньше двух узлов. Докажите, что среди узлов внутри треугольника можно выбрать такие два узла, что проходящая через них прямая содержит одну из вершин треугольника или параллельна одной из сторон треугольника.
Ответ:
Решение: