Последовательность состоит из $k$ нулей и $m$ единиц, расположенных в случайном порядке. Разобьем последовательность на чередующиеся группы нулей и единиц (группа — участок, состоящий из всех одинаковых цифр, стоящих подряд). Общее число групп — случайная величина. Найдите ее математическое ожидание.
Например, последовательность 00011011100 состоит из пяти групп 000, 11, 0, 111 и 00.
Например, последовательность 00011011100 состоит из пяти групп 000, 11, 0, 111 и 00.
Ответ:
Решение:
Магазин «Крокус и Кактус» объявил акцию: если покупатель берет три товара, то самый дешевый из них ему достается бесплатно. Покупатель взял десять товаров, все разной цены: за 100 рублей, за 200 рублей, за 300 рублей и так далее — самый дорогой товар стоил 1000 рублей.
а) Какова наименьшая сумма, которую покупатель заплатит, если удачно разложит свои покупки перед кассиром?
б) Какова наибольшая сумма, которую покупатель заплатит, если неудачно разложит покупки?
в) Найдите математическое ожидание суммы, которую покупатель заплатит, если разложит покупки случайным образом.
а) Какова наименьшая сумма, которую покупатель заплатит, если удачно разложит свои покупки перед кассиром?
б) Какова наибольшая сумма, которую покупатель заплатит, если неудачно разложит покупки?
в) Найдите математическое ожидание суммы, которую покупатель заплатит, если разложит покупки случайным образом.
Ответ:
Решение:
Каждый день кот Базилио и лиса Алиса обходят все 20 дворов столицы Страны Дураков, и в каждом дворе им либо дают, либо не дают один золотой с вероятностью $\frac{1}{2}$. Если к концу дня число выпрошенных золотых чётное, то лиса и кот делят их поровну. Если же оно нечётно, то они делят все монеты, кроме одной, поровну, а последнюю кот Базилио забирает себе как коммерческий директор предприятия. Найдите математическое ожидание числа монет, полученных котом за день.
Ответ:
Решение:
Если один человек тратит в очереди одну минуту на ожидание, будем говорить, что бесцельно затрачена одна человеко-минута. В очереди в банке стоит восемь человек, из них пятеро планируют простые операции, занимающие 1 минуту, а остальные планируют длительные операции, занимающие 5 минут. Найдите:
а) наименьшее и наибольшее возможное суммарное количество бесцельно затраченных человеко-минут;
б) математическое ожидание количества бесцельно затраченных человеко-минут, при условии, что клиенты встают в очередь в случайном порядке.
а) наименьшее и наибольшее возможное суммарное количество бесцельно затраченных человеко-минут;
б) математическое ожидание количества бесцельно затраченных человеко-минут, при условии, что клиенты встают в очередь в случайном порядке.
Ответ:
Решение:
В страшную грозу по верёвочной лестнице цепочкой поднимаются $n$ гномиков. Если вдруг случится удар грома, то от испуга каждый гномик, независимо от других, может упасть с вероятностью $p$ ($0\lt p\lt 1$). Если гномик падает, то он сшибает и всех гномиков, которые находятся ниже. Найдите:
а) Вероятность того, что упадёт ровно $k$ гномиков.
б) Математическое ожидание числа упавших гномиков.
а) Вероятность того, что упадёт ровно $k$ гномиков.
б) Математическое ожидание числа упавших гномиков.
Ответ:
Решение:
На рисунке показано платежное поручение на оплату электричества некоторой энергосбытовой компании.
Каждый месяц клиент передаёт компании показания трёхтарифного счётчика, установленного в квартире. Из показаний за текущий месяц вычитаются соответствующие показания за прошлый месяц, и получается фактический расход за месяц по каждой из трёх тарифных зон (пик, ночь, полупик). Затем расход по каждой зоне умножается на цену одного киловатт-часа в этой зоне. Складывая полученные суммы, клиент получает общую сумму оплаты за месяц. В данном примере клиент заплатит 660 р. 72 коп.
Компания тоже ведет учёт расхода и оплаты электроэнергии, пользуясь данными, полученными от клиента. Проблема состоит в том, что компания иногда путает полученные шесть чисел, переставляя их в произвольном порядке, правда, следит за тем, чтобы текущее показание оставалось больше, чем предыдущее. В результате расчёт компании может оказаться ошибочным. Если компания считает, что клиент должен больше, чем он заплатил, компания требует доплатить разность.
Пользуясь данными изображенной квитанции, найдите:
а) максимально возможную сумму доплаты за март 2013 года, которую компания потребует у клиента;
б) математическое ожидание разности между суммой, которую насчитает компания, и суммой, которую заплатил клиент.
Каждый месяц клиент передаёт компании показания трёхтарифного счётчика, установленного в квартире. Из показаний за текущий месяц вычитаются соответствующие показания за прошлый месяц, и получается фактический расход за месяц по каждой из трёх тарифных зон (пик, ночь, полупик). Затем расход по каждой зоне умножается на цену одного киловатт-часа в этой зоне. Складывая полученные суммы, клиент получает общую сумму оплаты за месяц. В данном примере клиент заплатит 660 р. 72 коп.
Компания тоже ведет учёт расхода и оплаты электроэнергии, пользуясь данными, полученными от клиента. Проблема состоит в том, что компания иногда путает полученные шесть чисел, переставляя их в произвольном порядке, правда, следит за тем, чтобы текущее показание оставалось больше, чем предыдущее. В результате расчёт компании может оказаться ошибочным. Если компания считает, что клиент должен больше, чем он заплатил, компания требует доплатить разность.
Пользуясь данными изображенной квитанции, найдите:
а) максимально возможную сумму доплаты за март 2013 года, которую компания потребует у клиента;
б) математическое ожидание разности между суммой, которую насчитает компания, и суммой, которую заплатил клиент.
Ответ:
Решение:
На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит $n$ носков. Среди них — два любимых носка Рассеянного Учёного. Носки загорожены сохнущей простыней, поэтому Учёный их не видит, и достает по одному носку на ощупь. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых Ученым к моменту, когда у него окажутся оба любимых носка.
Ответ:
Решение:
Вася купил $n$ пар одинаковых носков. В течение $n$ дней Вася не знал проблем: каждое утро брал из шкафа новую пару и носил ее целый день. Через $n$ дней Васина мама постирала все носки в стиральной машине и разложила их по парам, как получилось, поскольку, повторим, носки одинаковые. Назовем пару носков удачной, если оба носка в этой паре были на Васе в один и тот же день.
а) Найти вероятность того, что все получившиеся пары удачные.
б) Доказать, что матожидание числа удачных пар больше 0,5.
а) Найти вероятность того, что все получившиеся пары удачные.
б) Доказать, что матожидание числа удачных пар больше 0,5.
Ответ:
Решение:
В игре «Что? Где? Когда?» разыгрываются 13 конвертов с вопросами от телезрителей. Конверты выбираются по очереди в случайном порядке с помощью волчка. Если знатоки отвечают верно, зарабатывают очко, если неверно — одно очко достается телезрителям. Игра оканчивается, как только одна из команд набрала 6 очков.
Предположим, что силы команд Знатоков и Телезрителей равны.
а) Найдите математическое ожидание числа очков, набранных командой Знатоков за 100 игр.
б) Найдите вероятность того, что в следующей игре конверт номер 5 будет разыгран.
Предположим, что силы команд Знатоков и Телезрителей равны.
а) Найдите математическое ожидание числа очков, набранных командой Знатоков за 100 игр.
б) Найдите вероятность того, что в следующей игре конверт номер 5 будет разыгран.
Ответ:
Решение:
Из 27 игральных кубиков сложен куб.
а) Найдите вероятность того, что на поверхности куба оказалось ровно 25 шестерок.
б) Найдите вероятность того, что на поверхности куба оказалась хотя бы одна единица.
в) Найдите математическое ожидание числа шестёрок, смотрящих наружу.
г) Найдите математическое ожидание суммы чисел, которые оказались на поверхности куба.
д) Найдите математическое ожидание случайной величины: «Число различных цифр, оказавшихся на поверхности куба».
а) Найдите вероятность того, что на поверхности куба оказалось ровно 25 шестерок.
б) Найдите вероятность того, что на поверхности куба оказалась хотя бы одна единица.
в) Найдите математическое ожидание числа шестёрок, смотрящих наружу.
г) Найдите математическое ожидание суммы чисел, которые оказались на поверхности куба.
д) Найдите математическое ожидание случайной величины: «Число различных цифр, оказавшихся на поверхности куба».
Ответ:
Решение:
По свистку учителя физкультуры все ученики, 10 мальчиков и 7 девочек, выстроились в шеренгу в случайном порядке — кто куда успел. Найдите математическое ожидание величины «Число девочек, стоящих левее всех мальчиков».
Ответ:
Решение:
Муха двигается из начала координат только вправо или вверх по линиям целочисленной сетки (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.
а) Докажите, что рано или поздно муха достигнет точки с абсциссой 2011.
б) Найдите математическое ожидание ординаты мухи в момент, когда муха достигла абсциссы 2011.
а) Докажите, что рано или поздно муха достигнет точки с абсциссой 2011.
б) Найдите математическое ожидание ординаты мухи в момент, когда муха достигла абсциссы 2011.
Ответ:
Решение:
Игральную кость бросают шесть раз. Найдите математическое ожидание числа различных выпавших граней.
Ответ:
Решение:
В затылок друг другу выстроились $n$ человек. Более высокие загораживают более низких, и тех не видно. Чему равно математическое ожидание числа людей, которых видно?
Ответ:
Решение:
По случаю начала зимних каникул все мальчики из 8 «В» пошли в тир. Известно, что в 8 «В» $n$ мальчиков. В тире, куда пришли ребята, $n$ мишеней. Каждый из мальчиков случайным образом выбирает себе мишень, при этом некоторые ребята могли выбрать одну и ту же мишень. После этого все одновременно делают залп по своим мишеням. Известно, что каждый из мальчиков попал в свою мишень. Мишень считается пораженной, если в нее попал хоть один мальчик.
а) Найти среднее количество пораженных мишеней.
б) Может ли среднее количество пораженных мишеней быть меньше $\frac{n}{2}$?
а) Найти среднее количество пораженных мишеней.
б) Может ли среднее количество пораженных мишеней быть меньше $\frac{n}{2}$?
Ответ:
Решение:
Крупная торговая сеть продовольственных магазинов проводит внутренний аудит (независимую проверку) своих поставщиков с их согласия. Сначала проверяется количество жалоб и рекламаций со стороны покупателей на 100 единиц проданного товара.
Если жалоб нет или очень мало, то аудит завершается.
Если жалоб немного, то назначается выборочная проверка условий производства и качества продукции.
Сплошная проверка качества продукции и условий производства обходится втрое дороже выборочной и назначается в двух случаях: 1. Количество жалоб превышает некоторое пороговое значение. Вероятность этого равна 0,25. 2. Выборочная проверка выявила много нарушений. Вероятность этого равна $\beta$.
Главный экономист сети заявил, что, если упразднить выборочную проверку, заменив ее сплошной, то средняя стоимость аудита не изменится, а время аудита сократится. Оказалось, что экономист прав. Найдите вероятность $\beta$.
Если жалоб нет или очень мало, то аудит завершается.
Если жалоб немного, то назначается выборочная проверка условий производства и качества продукции.
Сплошная проверка качества продукции и условий производства обходится втрое дороже выборочной и назначается в двух случаях: 1. Количество жалоб превышает некоторое пороговое значение. Вероятность этого равна 0,25. 2. Выборочная проверка выявила много нарушений. Вероятность этого равна $\beta$.
Главный экономист сети заявил, что, если упразднить выборочную проверку, заменив ее сплошной, то средняя стоимость аудита не изменится, а время аудита сократится. Оказалось, что экономист прав. Найдите вероятность $\beta$.
Ответ:
Решение:
Была у братьев шоколадка, разделенная на 36 квадратиков прямолинейными бороздками (см. рисунок). Старший брат сломал шоколадку по случайной прямой и поступил по-братски: съел тот кусок, который оказался не больше другого. Потом пришёл младший брат, сломал оставшуюся часть тоже по случайной прямой и съел кусок, который оказался не меньше другого. Определите, кто из братьев съел в среднем больше — сравните математические ожидания количества квадратиков, доставшихся братьям.
Ответ:
Решение:
Игроки А. и Б. играют в орлянку, бросая монету 100 раз. Если выпадет орёл, то игрок Б. отдаёт рубль игроку А., а если решка, то игрок А. отдаёт рубль игроку Б. Монета несимметричная, поэтому А. имеет преимущество: математическое ожидание его выигрыша при 100 бросках равно 7 рублям. Известно, что в первый раз выпал орёл. Найдите математическое ожидание выигрыша игрока А. при этом условии.
Ответ:
Решение:
А. и Б. играют в орлянку, бросая монету 100 раз. Если выпадет орёл, то игрок Б. отдаёт рубль игроку А., а если решка, то игрок А. отдаёт рубль игроку Б. Монета несимметричная, поэтому А. имеет преимущество: математическое ожидание его выигрыша при 100 бросках равно 8 рублям. Известно, что в первый раз выпала решка. Найдите математическое ожидание выигрыша игрока А. при этом условии.
Ответ:
Решение:
На бал пришли $n$ семейных пар. В каждой паре муж и жена абсолютно одинакового роста, но двух пар одного роста нет. Начинает звучать вальс, и все пришедшие разбиваются случайным образом на пары: каждый кавалер танцует со случайно выбранной дамой. Найдите математическое ожидание случайной величины $X$ «Число кавалеров, которые ниже своей партнёрши».
Ответ:
Решение: