Графики линейных функций $y=ax+c$, $y=ax+d$, $y=bx+e$, $y=bx+f$ пересекаются в вершинах квадрата $P$. Могут ли точки $K(a,c)$, $L(a,d)$, $M(b,e)$, $N(b,f)$ располагаться в вершинах квадрата, равного квадрату $P$?
Ответ:
Решение:
Докажите, что если прямые\[y=kx+m,\quad y=mx+n\quad\text{и}\quad y=nx+k\]на координатной плоскости имеют общую точку, то они совпадают.
Ответ:
Решение:
Графики функций \[y=k_1x+b_1,\quad y=k_2x+b_2,\quad y=k_3x+b_3\] являются продолжениями сторон равностороннего треугольника. Докажите, что среди чисел $k_1$, $k_2$, $k_3$ есть такое, которое не меньше $1/2$.
Ответ:
Решение:
Два графика линейных функций пересекаются при $x=2$. При $x=8$ значения отличаются на 8. При $x=20$ значение одной из функций равно 100. Чему может быть равно значение другой функции?
Ответ:
Решение:
Вася задумал три вещественных числа $a$, $b$, $c$. Оказалось, что три прямые, заданные уравнениями \[ y=ax+2,\quad y=bx+5\quad\text{и}\quad y=cx+8, \] пересекаются в одной точке. Найдите значение $b$, если известно, что $a+c=67$.
Ответ:
Решение:
Часть графика линейной функции, расположенная во второй координатной четверти, вместе с осями координат образует треугольник. Во сколько раз изменится его площадь, если угловой коэффициент функции в два раза увеличить, а свободный член в два раза уменьшить?
Ответ:
Решение:
Дима начертил графики четырёх линейных функций на координатной плоскости, но забыл отметить единичные отрезки. Когда он переписывал задание в тетрадь, то отвлекся и не дописал уравнения, задающие функции под номерами 3 и 4. Найдите эти уравнения. Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Точки пересечения графиков четырех функций, заданных формулами $y=kx+b$, $y=kx-b$, $y=mx+b$ и $y=mx-b$, являются вершинами четырёхугольника. Найдите координаты точки пересечения его диагоналей.
Ответ:
Решение:
Графики трёх функций $y=ax+a$, $y=bx+b$ и $y=cx+d$ имеют общую точку, причём $a\neq b$. Обязательно ли $c=d$? Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Найдите положительное число $p$, такое, что прямая $y=4x+p$ и координатные оси образуют треугольник, площадь которого равна $72$.
Ответ:
Решение:
Построить график функции $\displaystyle y=f(x)=\frac{-2x^3+x^2+7x-6}{x^2+x-2}$. Найти значения параметра $k$, при каждом из которых прямая $y=kx$ не имеет общих точек с графиком данной функции.
Ответ:
Решение:
Написать уравнение прямой, которую заметает точка пересечения прямых $4x-2ax-ay-y-2a+4=0$ и $3x-2ax-ay+3y+7a-12=0$ при изменении $a$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнение прямой, которую заметает точка пересечения прямых $ax-x-2ay+4a-2=0$ и $ax+2x-2ay+3y-5a+4=0$ при изменении $a$.
Ответ:
Решение: