Готовые варианты контрольных — за минуты

Непрерывная случайная величина $X$ имеет функцию плотности $y=f(x)$, которая равна нулю при $x\lt a$ и при $x\geqslant b$, а на промежутке $[a;b)$ непрерывна, положительна и монотонно убывает. Докажите, что математическое ожидание случайной величины $X$ больше, чем её медиана.
Медианой случайной величины $X$ называется такое число $m$, что $\mathrm{P}(X\leqslant m)\geqslant 0{,}5$ и $\mathrm{P}(X\geqslant m)\geqslant 0{,}5$. Если случайная величина имеет конечную функцию плотности $y=f(x)$, то прямая $x=m$ делит фигуру, ограниченную осью абсцисс и графиком плотности, на две фигуры, площадь каждой из которых равна 0,5.

В новом только что заселённом многоквартирном доме рабочие повесили блок из 80 почтовых ящиков. Внутрь каждого ящика они положили кольцо с ключом и биркой с номером квартиры, но не позаботились о том, чтобы в каждом ящике лежал ключ от этого ящика. Они просто покидали ключи в ящики в случайном порядке. Ящики, разумеется, заперты.
Рассеянный Учёный, недавно поселившийся в квартире 37, обрадовался, увидев ящики, но консьержка сказала, что достать ключи она не может. Нужно идти в управляющую компанию, которая осуществляет приём граждан каждый третий понедельник месяца с 12.00 до 12.30.
Найдя в мусорной урне палочку (кто-то заказывал суши), Учёный с четвёртой попытки сумел извлечь ключ из ящика № 37. Он рассуждал следующим образом: если это ключ от моего ящика, то всё хорошо. Если нет, то я открою ящик, от которого этот ключ, ключ оставлю в замке, выну из ящика следующий ключ, открою им следующий ящик и так далее, пока не достану свой ключ.
а) Докажите, что описанный алгоритм результативен, то есть что Рассеянный Учёный найдёт свой ключ.
б) Найдите математическое ожидание числа жильцов, которым придётся ковырять в ящиках палочкой, если все они будут следовать алгоритму Рассеянного Учёного.

Неправдоподобная легенда гласит, что однажды в маленькой лавке в центре Львова Стефан Банах купил два коробка спичек и положил их в карман пиджака. В каждом коробке было 60 спичек.
Когда Банаху нужна спичка, он вынимает случайный коробок и берет из него спичку. В какой-то момент Банах достал коробок и обнаружил, что он пуст. Найдите математическое ожидание числа спичек в другом коробке.

Закончив писать книгу о степенных средних, Рассеянный Ученый решил заняться лепидоптерологией, то есть изучением бабочек. Он взял сачок и отправился на Суматру, где водится ровно $n$ видов бабочек. Когда Ученый видит бабочку, он накрывает ее сачком, а уже потом рассматривает, поскольку зрение у Ученого не очень хорошее.
Пойманная бабочка может оказаться $j$-го вида с вероятностью $p_j$, где $j=1,\ldots,n$. Если бабочку такого вида Ученый еще не видел, то он ее тщательно измеряет, взвешивает, фотографирует, описывает и отпускает на волю. Если же бабочка такого вида уже встречалась, то Ученый отпускает ее сразу и ищет следующую бабочку.
Покажите, что через три дня такой охоты математическое ожидание числа видов бабочек, недостающих в описании Ученого, будет минимально возможным, если все вероятности $p_j$ равны между собой.

Производитель шоколадных яиц с игрушкой внутри объявил, что выпускается новая коллекция, в которой десять разных крокодилов. Крокодилы равномерно и случайно распределены по шоколадным яйцам, то есть в случайно выбранном яйце каждый из крокодилов может оказаться с вероятностью 0,1. Леша захотел собрать полную коллекцию. Каждый день мама покупает ему одно шоколадное яйцо с крокодилом.
Сначала в коллекции Леши появился крокодил в очках, затем — крокодил с газетой. Третьим экземпляром, какого не было прежде, стал крокодил с тростью. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество крокодилов с тростью, которые оказались у Леши к моменту, когда у него образовалась полная коллекция».

Беспроигрышная лотерея устроена по следующим правилам. Игрок покупает лотерейный билет за $n$ рублей, причём цену он назначает сам ($n$ — целое, большее 1). Затем генератор случайных чисел выбирает случайное натуральное число из отрезка от 1 до $n$ включительно. Выигрыш игрока равен сумме делителей выбранного числа в рублях. Может ли игрок назначить цену лотерейного билета так, чтобы математическое ожидание выигрыша было больше его затрат?

На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит $n$ пар носков. Двух одинаковых пар нет. Носки висят за сохнущей простыней, поэтому Рассеянный Ученый достает по одному носку на ощупь и сравнивает каждый новый носок со всеми предыдущими. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых к моменту, когда у Учёного окажется какая-нибудь пара.

Работа Рассеянного Учёного связана с длительными командировками, и поэтому он часто летает самолётами одной и той же авиакомпании. У этой авиакомпании много одинаковых самолётов, и все они имеют имена. Поскольку Учёный летает не каждый день и даже не каждую неделю, можно считать, что всякий раз ему «достаётся» случайный самолёт. Из любопытства и по привычке Рассеянный Учёный каждый раз записывает, на каком самолёте он летит. В своём пятнадцатом полёте Учёный оказался на борту самолёта, гордо носящего имя «Симеон Дени Пуассон». После взлёта Учёный достал свою книжечку, чтобы записать имя самолёта, и обнаружил, что на «Пуассоне» он уже один раз летел, а прежде повторений не было. Оцените количество самолётов в авиакомпании.

Муха ползет по решетке $n\times n$ из левого нижнего узла $A$ в верхний правый узел $B$, двигаясь только вправо или вверх (рис. 2). Каково математическое ожидание числа поворотов на траектории мухи, если в каждом узле, где есть ветвление, муха с равными вероятностями выбирает следующий отрезок пути?

Рис. 2

В стране $n\gt 100$ городов и пока нет дорог. Правительство наугад определяет стоимость строительства дороги (с двусторонним движением) между каждыми двумя городами, используя по разу все суммы от 1 до $n(n-1)/2$ талеров (все варианты равновероятны). Мэр каждого города выбирает самую дешёвую из $n-1$ возможных дорог, идущих из этого города, и она строится (это может быть взаимным желанием мэров обоих соединяемых городов или только одного из двух).
После строительства этих дорог города оказываются разбиты на $M$ компонент связности (между городами одной компоненты связности можно добраться по построенным дорогам, возможно, с пересадками, а между городами разных компонент — нельзя). Найдите математическое ожидание случайной величины $M$.