В почтовом отделении курьер отправляет 100 писем. Письма весом больше 100 г не принимаются. Стоимость отправки зависит от веса письма. Минимальная стоимость (письма весом до 20 г включительно) равна 22 руб., за каждые следующие полные или неполные 20 г добавляется еще 2 руб. 50 коп. (см. таблицу).
Почтовые тарифы на простые письма
Первая операционистка на почте считает, что нужно взвесить по отдельности все 100 писем, найти стоимость отправки каждого по таблице, а потом все суммы сложить.
Вторая предлагает взвесить все письма сразу, найти средний вес письма, определить по таблице стоимость отправки и умножить результат на 100. Она говорит, что это даст ту же сумму, только быстрее. Права ли вторая операционистка?
Операционистка — служащая почтового отделения, выполняющая операции по отправке.
Почтовые тарифы на простые письма
| Вес, г | Цена, р |
|---|---|
| до 20 | 22,00 |
| от 21 до 40 | 24,50 |
| от 41 до 60 | 27,00 |
| от 61 до 80 | 29,50 |
| от 81 до 100 | 32,00 |
Вторая предлагает взвесить все письма сразу, найти средний вес письма, определить по таблице стоимость отправки и умножить результат на 100. Она говорит, что это даст ту же сумму, только быстрее. Права ли вторая операционистка?
Операционистка — служащая почтового отделения, выполняющая операции по отправке.
Ответ:
Решение:
Во время диспансеризации медсестра измерила рост всех восьмиклассников и составила гистограмму (диаграмму частот значений). На горизонтальной оси отмечается рост в сантиметрах, а на вертикальной — доля восьмиклассников, имеющих такой рост.
а) Найдите цену деления на вертикальной оси.
б) Найдите медиану роста восьмиклассников.
а) Найдите цену деления на вертикальной оси.
б) Найдите медиану роста восьмиклассников.
Ответ:
Решение:
Приведите пример числового набора, у которого медиана равна 3, среднее арифметическое равно 5, а мода равна 6.
Модой числового набора называется число, которое встречается в наборе большее число раз, чем любое другое число. Например, в наборе 1, 2, 2, 2, 3, 3 модой является число 2.
Модой числового набора называется число, которое встречается в наборе большее число раз, чем любое другое число. Например, в наборе 1, 2, 2, 2, 3, 3 модой является число 2.
Ответ:
Решение:
Среднее арифметическое числового набора из 16 чисел равно 5. Из набора удалили одно число, и среднее арифметическое полученного набора стало равно 4. Какое число удалили?
Ответ:
Решение:
На музыкальном фестивале жюри голосует за лучшую и худшую песни. Каждый из четырёх судей указывает, какая одна из трёх представленных песен ему очень нравится и какая песня совсем не нравится. Песня, которая наберёт больше всего голосов «очень нравится», будет признана лучшей, а песня, набравшая больше всех голосов «совсем не нравится» — худшей.
К удивлению организаторов, одна и та же песня оказалась признана и лучшей и худшей одновременно. Покажите, как могли проголосовать судьи (достаточно одного примера в таблице).
К удивлению организаторов, одна и та же песня оказалась признана и лучшей и худшей одновременно. Покажите, как могли проголосовать судьи (достаточно одного примера в таблице).
| Очень нравится песня № | Совсем не нравится песня № | |
|---|---|---|
| 1 судья | ||
| 2 судья | ||
| 3 судья | ||
| 4 судья |
Ответ:
Решение:
В Анчурии одна река Рио-Бланко, которая берёт начало где-то в горах и впадает в океан, и всего пять городов: Сан-Матео, Аласан, Коралио, Альфоран и Солитас.
На рисунке показана карта Анчурии, но названий городов нет, города отмечены цифрами. В таблице даны некоторые общие сведения обо всех пяти городах. Определите, где какой город на карте.
Точная карта Анчурии (картограф Николай Крутиков)
Города Анчурии
На рисунке показана карта Анчурии, но названий городов нет, города отмечены цифрами. В таблице даны некоторые общие сведения обо всех пяти городах. Определите, где какой город на карте.
Точная карта Анчурии (картограф Николай Крутиков)
Города Анчурии
| Город | Площадь (кв. мили) | Население (тыс. чел.) | Основная статья дохода | Высота центра города над уровнем моря (в футах) | Источник пресной воды |
|---|---|---|---|---|---|
| Сан-Матео | $18{,}3$ | $120{,}2$ | Сувенирная промышленность | 117 | р. Рио-Бланко |
| Коралио | $8{,}4$ | $30{,}3$ | Экспорт обуви | 5 | р. Рио-Бланко |
| Аласан | $12{,}0$ | $45{,}9$ | Банановодство | 349 | Колодцы и скважины |
| Альфоран | $9{,}4$ | $19{,}6$ | Доходы от проведения турниров по шашкам | 593 | р. Рио-Бланко |
| Солитас | $4{,}1$ | $8{,}4$ | Нет доходов | 232 | р. Рио-Бланко |
Ответ:
Решение:
Из цифр от 1 до 9 составлены три однозначных и три двузначных числа, причем цифры не повторяются. Найдите наименьшее возможное среднее арифметическое получившегося набора чисел.
Ответ:
Решение:
Некоторый числовой массив обладает тем свойством, что если к каждому числу прибавить число 2, то сумма квадратов чисел массива не изменится. Найдите среднее арифметическое массива.
Ответ:
Решение:
Город считается миллионером, если в нем живет более миллиона человек. Вероятность какого события больше:
$A$ = «наугад выбранный городской житель живет в городе-миллионере»
или
$B$ = «наугад выбранный город — город-миллионер»?
Ответ обоснуйте.
Возьмите статистику численности городского населения России с сайта http://www.perepis2002.ru/ct/doc/1_TOM_01_05.xls. Проверьте, справедлив ли для России ваш вывод, сделанный ранее. Для этого подсчитайте вероятность того, что наугад выбранный городской житель живет в городе-миллионере, и вероятность того, что наугад выбранный город — миллионер, и сравните их.
$A$ = «наугад выбранный городской житель живет в городе-миллионере»
или
$B$ = «наугад выбранный город — город-миллионер»?
Ответ обоснуйте.
Возьмите статистику численности городского населения России с сайта http://www.perepis2002.ru/ct/doc/1_TOM_01_05.xls. Проверьте, справедлив ли для России ваш вывод, сделанный ранее. Для этого подсчитайте вероятность того, что наугад выбранный городской житель живет в городе-миллионере, и вероятность того, что наугад выбранный город — миллионер, и сравните их.
Ответ:
Решение:
Итоговый балл в фигурном катании выставляется следующим образом. Бригада судей состоит из десяти человек. Каждый из судей ставит спортсмену свою оценку за выступление. После этого из десяти полученных оценок случайным образом выбираются семь. Сумма этих семи оценок и есть итоговый балл. Места между спортсменами распределяются в соответствии с набранным итоговым баллом: чем выше балл, тем лучше результат.
В чемпионате участвовало 6 спортсменов. Могло ли оказаться так, что:
а) спортсмен, у которого сумма всех 10 оценок максимальна, занял последнее место?
б) спортсмен, у которого сумма всех 10 оценок максимальна, занял последнее место, а спортсмен, у которого сумма всех 10 оценок минимальна, занял первое место?
В чемпионате участвовало 6 спортсменов. Могло ли оказаться так, что:
а) спортсмен, у которого сумма всех 10 оценок максимальна, занял последнее место?
б) спортсмен, у которого сумма всех 10 оценок максимальна, занял последнее место, а спортсмен, у которого сумма всех 10 оценок минимальна, занял первое место?
Ответ:
Решение:
На улице $n$ домов. Каждый день почтальон идёт на почту, берет там письма для жителей одного дома и разносит их. Затем он возвращается на почту, берет письма для жителей другого дома и снова их разносит. И так далее он обходит все дома. В каком месте нужно построить почту, чтобы почтальону пришлось проходить наименьшее расстояние? Улицу можно считать отрезком прямой.
а) Решите задачу для $n=5$.
б) Решите задачу для $n=6$.
в) Решите задачу для произвольного $n$.
а) Решите задачу для $n=5$.
б) Решите задачу для $n=6$.
в) Решите задачу для произвольного $n$.
Ответ:
Решение:
В числовом наборе 100 чисел. Если выкинуть одно число, то медиана оставшихся чисел будет равна 78. Если выкинуть другое число, то медиана оставшихся чисел будет 66. Найдите медиану всего набора.
Ответ:
Решение:
В числовом наборе $n$ чисел, среди которых есть числа 0 и 1. Какова наименьшая возможная дисперсия такого набора чисел? Каким для этого должен быть набор?
Ответ:
Решение:
В наборе $-5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ замените одно число двумя другими целыми числами так, чтобы дисперсия набора и его среднее не изменились.
Ответ:
Решение:
В понедельник 7 апреля акция Торгового дома «Малони и Ко» стоила 5 анчурийских долларов. Последующие шесть дней акции не падали в цене или даже росли, и к воскресенью 13 апреля цена акции достигла 5 долларов 14 центов. На протяжении всей следующей недели акции не поднимались и даже падали в цене так, что 20 апреля акция снова стоила 5 долларов.
а) Приведите пример, как могли изменяться цены, так что средний курс за весь период с 7 по 20 апреля был выше, чем 5 долларов 9 центов, но ниже, чем 5 долларов 10 центов.
б) Обозреватель А. утверждает, что средний курс акции в период с 7 по 13 апреля был на 10,5 центов ниже, чем средний курс в период с 14 по 20 апреля. Обозреватель Б. говорит, что А. неправ. Так кто же из них прав?
а) Приведите пример, как могли изменяться цены, так что средний курс за весь период с 7 по 20 апреля был выше, чем 5 долларов 9 центов, но ниже, чем 5 долларов 10 центов.
б) Обозреватель А. утверждает, что средний курс акции в период с 7 по 13 апреля был на 10,5 центов ниже, чем средний курс в период с 14 по 20 апреля. Обозреватель Б. говорит, что А. неправ. Так кто же из них прав?
Ответ:
Решение:
Город считается миллионером, если в нем более миллиона жителей. Вероятность какого события больше: $A$ = «наугад выбранный горожанин живет в городе-миллионере» или $B$ = «наугад выбранный город — миллионер»?
Ответ:
Решение:
Даны 100 чисел. К каждому из них прибавили 2. Сумма квадратов чисел не изменилась. К каждому полученному числу еще раз прибавили число 2. Как изменилась сумма квадратов теперь?
Ответ:
Решение:
В числовом наборе 100 чисел. Если выкинуть одно число, то медиана оставшихся чисел станет 52. Если выкинуть другое число, то медиана оставшихся чисел станет 38. Найдите медиану всего набора.
Ответ:
Решение:
К концу полугодия у Василия Петрова в журнале стояли такие отметки по математике:
4, 1, 2, 5, 2
Перед тем как выставить полугодовую отметку, учитель математики сказал Васе:
— Вася, ты можешь выбрать метод, как вывести твою отметку за полугодие. Предлагаю два варианта. Метод А: среднее арифметическое текущих отметок с округлением до целого. Метод Б: медиана текущих отметок.
Лучший метод для Васи — это такой метод, который даст Васе в полугодии наибольшую отметку.
а) Какой метод для Васи лучший?
б) Потом учитель подумал и добавил:
— Имей в виду, Василий, что если ты сумеешь выбрать лучший для себя метод, то я поставлю тебе в журнал еще две пятерки, а уже потом выведу отметку за полугодие.
Докажите, что в этих условиях метод А не является для Васи лучшим.
4, 1, 2, 5, 2
Перед тем как выставить полугодовую отметку, учитель математики сказал Васе:
— Вася, ты можешь выбрать метод, как вывести твою отметку за полугодие. Предлагаю два варианта. Метод А: среднее арифметическое текущих отметок с округлением до целого. Метод Б: медиана текущих отметок.
Лучший метод для Васи — это такой метод, который даст Васе в полугодии наибольшую отметку.
а) Какой метод для Васи лучший?
б) Потом учитель подумал и добавил:
— Имей в виду, Василий, что если ты сумеешь выбрать лучший для себя метод, то я поставлю тебе в журнал еще две пятерки, а уже потом выведу отметку за полугодие.
Докажите, что в этих условиях метод А не является для Васи лучшим.
Ответ:
Решение:
В классе у Марии Ивановны прошёл ежегодный тест по английскому языку. Оказалось, что в обеих группах А и Б средний балл понизился по сравнению с прошлым годом (см. таблицу).
Мария Ивановна должна писать отчет, но знает, что директор школы будет недоволен, поскольку считает, что средний балл должен каждый год расти. Баллы менять нельзя, но Мария Ивановна может переводить учеников из одной группы в другую. Может ли она сделать так, что средний балл в каждой группе окажется выше, чем в прошлом году? Если нет — объясните, почему. Если да — покажите, как должна поступить Мария Ивановна.
| № | Группа А | Балл | № | Группа Б | Балл |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Антонов | 31 | 1 | Аверьянов | 36 |
| 2 | Белоусова | 46 | 2 | Воронова | 49 |
| 3 | Григорьев | 52 | 3 | Данилов | 31 |
| 4 | Дёмин | 51 | 4 | Злыднева | 35 |
| 5 | Исаев | 32 | 5 | Ларионов | 48 |
| 6 | Калинина | 41 | 6 | Мельникова | 32 |
| 7 | Морских | 59 | 7 | Озерова | 35 |
| 8 | Попов | 32 | 8 | Рассудова | 47 |
| 9 | Сидоров | 44 | 9 | Уварова | 35 |
| 10 | Филипповская | 54 | 10 | Яхонтов | 40 |
| Среднее | 44,2 | Среднее | 38,8 | ||
| Прошлый год | 44,4 | Прошлый год | 39,2 |
Ответ:
Решение: