Сторона $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ видна из середины $M$ его стороны $AD$ под углом $90^\circ$. Биссектрисы треугольника $BMC$ пересекаются в точке $I$. Известно, что \[\angle ABM=\angle MIC \quad\text{и}\quad \angle BIM=\angle MCD.\] Докажите, что $AI=DI$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точка $K$ — середина биссектрисы $BL$. Известно, что $AK=AL$ и $AK\perp BC$. Найдите величину угла $ABC$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $A$ и $C$ равны. На сторонах $AB$ и $BC$ нашлись соответственно точки $M$ и $N$ такие, что $MN\parallel AD$ и $MN=2AD$. Пусть $K$ — середина отрезка $MN$, а $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $KH$ и $CD$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
Внутри неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$, в котором $\angle ABC=60^\circ$, отмечена точка $T$ так, что $\angle ATB=\angle BTC=\angle ATC=120^\circ$. Медианы треугольника пересекаются в точке $M$. Прямая $TM$ пересекает вторично окружность, описанную около треугольника $ATC$, в точке $K$. Найдите $TM/MK$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$, внешние биссектрисы его углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $J$. Окружность $\omega_b$ с центром в точке $O_b$ проходит через точку $B$ и касается прямой $CI$ в точке $I$. Окружность $\omega_c$ с центром в точке $O_c$ проходит через точку $C$ и касается прямой $BI$ в точке $I$. Отрезки $O_bO_c$ и $IJ$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $IK/KJ$.
Ответ:
Решение:
Высоты остроугольного треугольника $ABC$, в котором $AB\lt AC$, пересекаются в точке $H$, а $O$ — центр описанной около него окружности $\Omega$. Отрезок $OH$ пересекает описанную около треугольника $BHC$ окружность в точке $X$, отличной от $O$ и $H$. Окружность, описанная около треугольника $AOX$, пересекает меньшую дугу $AB$ окружности $\Omega$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $XY$ делит отрезок $BC$ пополам.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ — середины биссектрис $AK$ и $CL$ треугольника $ABC$ соответственно. Докажите, что угол $ABC$ прямой тогда и только тогда, когда $\angle MBN=45^\circ$.
Ответ:
Решение: