Через точку $M$, удаленную на расстояние 12 от центра окружности радиуса 16, проведена хорда длины 22. Найти длины отрезков, на которые эта хорда делится точкой $M$.
Ответ:
Решение:
Через точку $M$, удаленную на расстояние $8{,}5$ от центра окружности диаметра 25, проведена хорда длины 20. Найти длины отрезков, на которые эта хорда делится точкой $M$.
Ответ:
Решение:
На окружности выбраны точки $A$, $B$, $C$ и $D$ так, что дуги $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ относятся как $5 : 2 : 1 : 10$ соответственно.
а) Найти угол между хордами $AC$ и $BD$.
б) Найти угол между прямыми $AD$ и $BC$.
а) Найти угол между хордами $AC$ и $BD$.
б) Найти угол между прямыми $AD$ и $BC$.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$, пересекая сторону $AB$ в точке $E$ и сторону $BC$ в точке $F$. Угол $AEC$ в 5 раз больше угла $BAF$, а угол $ABC$ равен $72^{\circ}$. Найдите радиус окружности, если $AC=6$.
Ответ:
Решение:
Четыре точки окружности следуют в порядке: $A$, $B$, $C$, $D$. Продолжение хорды $AB$ за точку $B$ и хорды $CD$ за точку $C$ пересекаются в точке $E$, причём угол $AED$ равен $60^{\circ}$. Угол $ABD$ в три раза больше угла $BAC$. Докажите, что $AD$ — диаметр окружности.
Ответ:
Решение:
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Продолжения противоположных сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, сторон $BC$ и $AD$ — в точке $L$. Докажите, что биссектрисы углов $BKC$ и $BLA$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $AB=CD=15$, $\angle AMC=60^{\circ}$ и $AC=3\,BD$. Найти стороны треугольника $BMD$.
Ответ:
Решение:
Теорема о вписанном угле (формулировка, доказательство для случаев, когда центр окружности находится на стороне угла; находится внутри угла).
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle CBD=58^{\circ}$, $\angle ABD=44^{\circ}$, $\angle ADC=78^{\circ}$. Найти угол $CAD$.
Ответ:
Решение:
Окружность разделена в отношении $3:7:8$, и точки деления соединены между собой. Найти углы полученного треугольника.
Ответ:
Решение:
На стороне $CD$ квадрата $ABCD$ задана точка $M$ так, что $CM:MD=\lambda$. Точка $K$ лежит на стороне $AD$ так, что $AM \perp BK$. Найти $AK:KD$.
Ответ:
Решение:
Из точки $M(-14;~16)$ к окружности $(x+1)^2+(y-3)^2=13$ проведены две касательные. Найти координаты точек касания.
Ответ:
Решение:
$|\vec a|=1$, $|\vec b|=3$, $\angle(\vec a,~\vec b)=120^{\circ}$. Найти $\cos\angle(\vec a+3\vec b,~3\vec a-\vec b)$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ к гипотенузе $AC$ проведены высота $BH$ и медиана $BM$. Найти косинус угла $HBM$, если $AB=1$ и $BC=2$.
Ответ:
Решение:
Найти основание равнобедренного треугольника, если его площадь равна 27, а тангенс угла при основании равен 3.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Доказать, что $A_1C \cdot BC = B_1C \cdot AC$.
Ответ:
Решение:
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6, а проекция другого катета на гипотенузу $\displaystyle\frac{8}{\sqrt{13}}$. Найти другой катет.
Ответ:
Решение:
В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 12, а синус острого угла при основании равен $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}}$. Найти площадь трапеции.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$. Найти гипотенузу $AB$ и катет $BC$, если $AC=2$, $\displaystyle CH=\frac{6}{\sqrt{13}}$.
Ответ:
Решение: