Длина отрезка $AB$ равна 12 см. Найти на прямой $AB$ все такие точки $M$, для которых $MA=2\cdot MB$.
Ответ:
Решение:
Длина отрезка $AB$ равна 14 см. Найти на прямой $AB$ все такие точки $D$, для которых $DA=3\cdot DB$.
Ответ:
Решение:
$\angle AOB=80^{\circ}$. Луч $OC$ делит этот угол на два угла так, что $\angle AOC=4\angle COB$. 1) Найти эти углы. 2) Найти угол $DOB$, если луч $OD$ проведён так, что $OA$ — биссектриса угла $DOB$.
Ответ:
Решение:
На отрезке $MN$, равном 8 дм, лежат точки $A$ и $B$ по разные стороны от середины $C$ отрезка $MN$, причем $CA=7$ см, $CB=0{,}24$ м. Найти длины отрезков $AN$ и $BN$.
Ответ:
Решение:
К окружности, вписанной в квадрат $ABCD$, проведена касательная, пересекающая стороны $AB$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Прямая $MN$ пересекает прямую $CD$ в точке $P$. В каком отношении делит сторону $BC$ прямая, проходящая через точку $P$ и центр окружности, если $AM:MB=1:2$?
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ большей боковой стороны прямоугольной трапеции $ABCD$ и касается боковой стороны $AD$ в точке $T$. Найдите расстояние от точки $T$ до прямой $BC$, если основания трапеции $AB$ и $CD$ равны 4 и 9 соответственно.
Ответ:
Решение:
В треугольнике с вершинами в точках $A(1,-6)$, $B(5,2)$ и $C(-1,5)$ найти координаты центров вписанной и описанной окружностей, а также расстояние между ними.
Ответ:
Решение:
Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=16$ и $BD=8$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{24}{\sqrt{61}}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$ ромба, касается этой окружности и пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Найти $CM$.
Ответ:
Решение:
В плоскости равностороннего треугольника через его центр проведена произвольная прямая. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой.
Ответ:
Решение:
Прямая проходит через центр квадрата со стороной 1. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до этой прямой.
Ответ:
Решение:
Треугольник $ABC$ — прямоугольный с катетами $AC=3$ и $BC=4$. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла $ABC$, пересекает продолжение стороны $AC$ треугольника в точке $K$. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла $ACB$, пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $M$. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла $BAC$, пересекает продолжение стороны $BC$ в точке $L$. Доказать, что $KL=LM$.
Ответ:
Решение:
Из точки $P(1;3)$ проведена касательная к окружности $(x+1)^{2}+(y+3)^{2}=4$. Найдите координаты точки касания.
Ответ:
Решение:
Из точки $M(-1;3)$ проведены касательные к окружности $(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=4$. Найдите координаты точек касания.
Ответ:
Решение:
Даны точки $A(2;4)$, $B(6;-4)$ и $C(-8;-1)$. Найдите косинус угла между медианами $CM$ и $AK$ треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Пусть $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=AC$), $D$ — середина стороны $AB$, а $E$ — точка пересечения медиан треугольника $ACD$. Докажите, что $OE \perp CD$.
Ответ:
Решение:
Дан четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=AD$ и $\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ }$. На сторонах $BC$ и $CD$ выбраны соответственно точки $F$ и $E$ так, что $DF \perp AE$. Докажите, что $AF \perp BE$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. На его сторонах $AB$ и $BC$ построены внешним образом квадраты $ABMN$ и $BCPQ$. Докажите, из середины отрезка $NP$ сторона $AC$ видна под прямым углом.
Ответ:
Решение:
Точка $K$ — середина стороны $AB$ квадрата $ABCD$, а точка $M$ лежит на диагонали $AC$, причем $AM:MC=3:1$. Докажите, что угол $KMD$ прямой.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC=8$) точка $E$ делит боковую сторону $AB$ в отношении $3:1$, считая от вершины $B$. Найти угол между прямыми $CE$ и $CA$, если $AC=12$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ длины катетов равны $6$ и $8$. Прямая $AD$ делит сторону $BC$ в отношении $BD:DC=4:5$. Найти угол между прямыми $AB$ и $AD$.
Ответ:
Решение: