Два равных конуса расположены так, что осью каждого из них является образующая другого. Углы при вершинах в осевых сечениях этих конусов равны по $60^\circ$. Найдите угол между двумя образующими, по которым пересекаются эти конусы.
Ответ:
Решение:
На плоскости основания конуса с высотой, равной радиусу основания, дана точка (вне конуса), удалённая от окружности основания на расстояние, равное двум радиусам основания. Найдите угол между касательными плоскостями к боковой поверхности конуса, проходящими через данную точку.
Ответ:
Решение:
В квадратной песочнице, засыпанной ровным слоем песка высотой $1$, Маша и Паша делали куличи при помощи цилиндрического ведёрка высоты $2$. У Маши все куличи удались, а у Паши — рассыпались и превратились в конусы той же высоты. В итоге весь песок ушёл на куличи, поставленные на дне песочницы отдельно друг от друга. Чьих куличей оказалось в песочнице больше: Машиных или Пашиных?
Ответ:
Решение:
Развёртка боковой поверхности усечённого конуса с образующей, равной 12, представляет собой часть кругового кольца с центральным углом $\frac{2\pi}{3}$. Найдите радиусы оснований этого усечённого конуса, если площадь его поверхности равна площади полного кругового кольца.
Ответ:
Решение:
Даны два прямых круговых конуса, основания которых — концентрические круги, расположенные в плоскости $\alpha$. Известно, что конусы расположены по одну сторону от плоскости $\alpha$, их объёмы равны 1, а отношение радиусов оснований равно 3. Найдите объём общей части конусов. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Радиус конуса равен $\sqrt{13}$. Найти площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду основания, равную 10, если эта плоскость составляет с плоскостью основания конуса угол $30^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Радиус конуса равен 5. Найти площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду основания, равную 8, если эта плоскость составляет с плоскостью основания конуса угол $60^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Найти радиус и высоту конуса, развёрткой боковой поверхности которого является круговой сектор радиуса 25 с дугой $100^{\circ}~48'$.
Ответ:
Решение:
Найти радиус и высоту конуса, развёрткой боковой поверхности которого является круговой сектор радиуса 17 с дугой $\displaystyle\frac{16\pi}{17}$.
Ответ:
Решение:
Найти радиус и высоту конуса, развёрткой боковой поверхности которого является круговой сектор радиуса 5 с дугой $216^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Найти радиус и высоту конуса, развёрткой боковой поверхности которого является круговой сектор радиуса 13 с дугой $\displaystyle\frac{10\pi}{13}$.
Ответ:
Решение:
Образующая конуса на 5 больше его радиуса, а площадь полной поверхности конуса равна $75\pi$. Найти образующую конуса и его высоту.
Ответ:
Решение:
Образующая конуса на 5 больше его радиуса, а площадь полной поверхности конуса равна $52\pi$. Найти образующую конуса и его высоту.
Ответ:
Решение:
Образующая конуса на 6 больше его радиуса, а площадь полной поверхности конуса равна $20\pi$. Найти образующую конуса и его высоту.
Ответ:
Решение:
Образующая конуса на 4 больше его радиуса, а площадь полной поверхности конуса равна $30\pi$. Найти образующую конуса и его высоту.
Ответ:
Решение:
Косинус угла при вершине осевого сечения конуса равен $\displaystyle\frac{7}{9}$. Во сколько раз площадь полной поверхности такого конуса больше площади его основания? Найти угол в развёртке боковой поверхности конуса.
Ответ:
Решение:
Косинус угла при вершине осевого сечения конуса равен $\displaystyle\frac{7}{8}$. Во сколько раз площадь полной поверхности такого конуса больше площади его основания? Найти угол в развёртке боковой поверхности конуса.
Ответ:
Решение:
Высота конуса 9, радиус основания $13$. Найти расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, проходящего через вершину конуса и хорду в окружности основания, если длина этой хорды $10$.
Ответ:
Решение:
Высота конуса 12, радиус основания $9{,}75$. Найти расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, проходящего через вершину конуса и хорду в окружности основания, если длина этой хорды $7{,}5$.
Ответ:
Решение:
Радиус основания конуса с вершиной $P$ равен 6, а длина его образующей равна 7. На окружности основания конуса выбраны точки $A$ и $B$, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как $1:2$.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $P$.
б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью $ABP$.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $P$.
б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью $ABP$.
Ответ:
Решение: