На середине ребра $DD_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $K$. Найти площадь сечения куба плоскостью $(AKC_1)$, если ребро куба равно $2$.
Ответ:
Решение:
На середине ребра $BB_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $M$. Найти площадь сечения куба плоскостью $(AMC_1)$, если ребро куба равно $6$.
Ответ:
Решение:
На середине ребра $BB_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $M$. Найти площадь сечения куба плоскостью $(AMC_1)$, если ребро куба равно $4$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ даны длины рёбер: $AB=AA_1=24\sqrt2$, $BC=5$. На середине ребра $CC_1$ взята точка $M$. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью $(A_1BM)$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ даны длины рёбер: $AB=AA_1=10\sqrt2$, $BC=12$. На середине ребра $CC_1$ взята точка $M$. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью $(A_1BM)$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ даны длины рёбер: $AB=AA_1=6\sqrt2$, $BC=4$. На середине ребра $CC_1$ взята точка $M$. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью $(A_1BM)$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ даны длины рёбер: $AB=AA_1=8\sqrt2$, $BC=3$. На середине ребра $CC_1$ взята точка $M$. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью $(A_1BM)$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сумма длин всех ребёр равна 120, при этом $AB:BC=2:3$ и $BC:AA_1=3:5$. Найти каждое ребро параллелепипеда и площадь его полной поверхности (площадь полной поверхности — это сумма площадей всех шести граней параллелепипеда).
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сумма длин всех ребёр равна 180, при этом $AB:BC=3:5$ и $BC:AA_1=5:7$. Найти каждое ребро параллелепипеда и площадь его полной поверхности (площадь полной поверхности — это сумма площадей всех шести граней параллелепипеда).
Ответ:
Решение:
На середине ребра $B_1C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $M$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $ABM$. Найти площадь сечения, если $AB=6$, $BC=4\sqrt3$, $AA_1=2$.
Ответ:
Решение:
На середине ребра $B_1C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $M$. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $ABM$. Найти площадь сечения, если $AB=6$, $BC=4\sqrt3$, $AA_1=\sqrt{13}$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=6$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:2$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=6$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=4$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=1:3$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=4$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:1$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
На диагонали $BD_{1}$ параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ отмечена точка $M$, причём $BM:MD_{1}=1:3$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямым $AB_{1}$ и $CB_{1}$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AB$ в отношении $1:3$, считая от вершины $A$.
б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит объём параллелепипеда?
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AB$ в отношении $1:3$, считая от вершины $A$.
б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит объём параллелепипеда?
Ответ:
Решение:
Грань $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ — квадрат. Точка $M$ лежит на ребре $BC$, причём $CM:MB=1:2$. Известно, что диагональ $DB_{1}$ параллелепипеда перпендикулярна отрезку $C_{1}M$.
а) Докажите, что угол прямой $CB_{1}$ с плоскостью $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ равен $30^{\circ}$.
б) Найдите объём параллелепипеда, если расстояние между прямыми $DB_{1}$ и $C_{1}M$ равно $\sqrt{\frac{3}{7}}$.
а) Докажите, что угол прямой $CB_{1}$ с плоскостью $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ равен $30^{\circ}$.
б) Найдите объём параллелепипеда, если расстояние между прямыми $DB_{1}$ и $C_{1}M$ равно $\sqrt{\frac{3}{7}}$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны основания равны $AB=21$ и $BC=20$, а тангенс угла, который диагональ $BD_1$ составляет с плоскостью основания, равен $0{,}25$. Найти боковое ребро $AA_1$ параллелепипеда.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны основания равны $AB=24$ и $BC=7$, а тангенс угла, который диагональ $BD_1$ составляет с плоскостью основания, равен $0{,}36$. Найти боковое ребро $AA_1$ параллелепипеда.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны основания равны $AB=15$ и $BC=8$, а тангенс угла, который диагональ $BD_1$ составляет с плоскостью основания, равен $2$. Найти боковое ребро $AA_1$ параллелепипеда.
Ответ:
Решение: