В треугольной пирамиде $ABCD$ известны длины рёбер: $AB=5$, $BC=6$, $BD=3$, $AD=\sqrt{34}$ и $CD=3\sqrt{5}$. Доказать, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $ABCD$ известны длины рёбер: $AB=4$, $BC=3$, $BD=2$, $AD=2\sqrt5$ и $CD=\sqrt{13}$. Доказать, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $ABCD$ известны длины рёбер: $AB=3$, $BC=4$, $BD=6$, $AD=3\sqrt5$ и $CD=2\sqrt{13}$. Доказать, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Из центра $O$ окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами 20, 13 и 11, к плоскости треугольника восстановлен перпендикуляр $\displaystyle OS=\frac{\sqrt{131}}{6}$.
а) Доказать, что точка $S$ равноудалена от вершин треугольника.
б) Найти расстояния от точки $S$ до вершин треугольника.
в) Найти расстояния от точки $S$ до сторон треугольника.
а) Доказать, что точка $S$ равноудалена от вершин треугольника.
б) Найти расстояния от точки $S$ до вершин треугольника.
в) Найти расстояния от точки $S$ до сторон треугольника.
Ответ:
Решение:
Из центра $O$ окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами 20, 15 и 7, к плоскости треугольника восстановлен перпендикуляр $\displaystyle OS=\frac{\sqrt{51}}{2}$.
а) Доказать, что точка $S$ равноудалена от вершин треугольника.
б) Найти расстояния от точки $S$ до вершин треугольника.
в) Найти расстояния от точки $S$ до сторон треугольника.
а) Доказать, что точка $S$ равноудалена от вершин треугольника.
б) Найти расстояния от точки $S$ до вершин треугольника.
в) Найти расстояния от точки $S$ до сторон треугольника.
Ответ:
Решение:
Из центра $O$ окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами 15, 14 и 13, к плоскости треугольника восстановлен перпендикуляр $\displaystyle OS=\frac{5\sqrt{87}}{8}$.
а) Доказать, что точка $S$ равноудалена от вершин треугольника.
б) Найти расстояния от точки $S$ до вершин треугольника.
в) Найти расстояния от точки $S$ до сторон треугольника.
а) Доказать, что точка $S$ равноудалена от вершин треугольника.
б) Найти расстояния от точки $S$ до вершин треугольника.
в) Найти расстояния от точки $S$ до сторон треугольника.
Ответ:
Решение:
Из центра $O$ окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами 17, 15 и 8, к плоскости треугольника восстановлен перпендикуляр $\displaystyle OS=\frac{\sqrt{35}}{2}$.
а) Доказать, что точка $S$ равноудалена от вершин треугольника.
б) Найти расстояния от точки $S$ до вершин треугольника.
в) Найти расстояния от точки $S$ до сторон треугольника.
а) Доказать, что точка $S$ равноудалена от вершин треугольника.
б) Найти расстояния от точки $S$ до вершин треугольника.
в) Найти расстояния от точки $S$ до сторон треугольника.
Ответ:
Решение:
Из центра $O$ окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами 17, 10 и 9, к плоскости треугольника восстановлен перпендикуляр $\displaystyle OS=\frac{\sqrt{519}}{8}$.
а) Доказать, что точка $S$ равноудалена от вершин треугольника.
б) Найти расстояния от точки $S$ до вершин треугольника.
в) Найти расстояния от точки $S$ до сторон треугольника.
а) Доказать, что точка $S$ равноудалена от вершин треугольника.
б) Найти расстояния от точки $S$ до вершин треугольника.
в) Найти расстояния от точки $S$ до сторон треугольника.
Ответ:
Решение:
Из центра $O$ окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами 15, 13 и 4, к плоскости треугольника восстановлен перпендикуляр $\displaystyle OS=\frac{5\sqrt{87}}{8}$.
а) Доказать, что точка $S$ равноудалена от вершин треугольника.
б) Найти расстояния от точки $S$ до вершин треугольника.
в) Найти расстояния от точки $S$ до сторон треугольника.
а) Доказать, что точка $S$ равноудалена от вершин треугольника.
б) Найти расстояния от точки $S$ до вершин треугольника.
в) Найти расстояния от точки $S$ до сторон треугольника.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ со сторонами $AC=BC=9$ на основание $AB=10$ опущена высота $CO$. К плоскости треугольника из точки $O$ восстановлен перпендикуляр $OM=13$. Найти $MC$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ со сторонами $AC=BC=7$ на основание $AB=8$ опущена высота $CO$. К плоскости треугольника из точки $O$ восстановлен перпендикуляр $OM=16$. Найти $MC$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ со сторонами $AC=BC=9$ на основание $AB=6$ опущена высота $CO$. К плоскости треугольника из точки $O$ восстановлен перпендикуляр $OM=17$. Найти $MC$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ со сторонами $AC=BC=9$ на основание $AB=14$ опущена высота $CO$. К плоскости треугольника из точки $O$ восстановлен перпендикуляр $OM=2$. Найти $MC$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ со сторонами $AC=BC=7$ на основание $AB=6$ опущена высота $CO$. К плоскости треугольника из точки $O$ восстановлен перпендикуляр $OM=9$. Найти $MC$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ со сторонами $AC=BC=7$ на основание $AB=4$ опущена высота $CO$. К плоскости треугольника из точки $O$ восстановлен перпендикуляр $OM=6$. Найти $MC$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Известно, что её высота относится к стороне основания как $\sqrt{3}:2$. Найдите угол между плоскостью $ASD$ и прямой, проходящей через точку $B$ и середину ребра $SD$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с рёбрами $AB=2$, $AD=4$, $AA_{1}=6$. Найдите расстояние от середины ребра $D_{1}C_{1}$ до плоскости, проходящей через середины рёбер $AB$, $AD$ и $CC_{1}$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная треугольная призма $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ со стороной основания $2\sqrt{7}$ и боковым ребром $2\sqrt{15}$. Точка $M$ — середина ребра $BB_{1}$. Найдите угол между плоскостями $AMC$ и $A_{1}BC_{1}$.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Точка $M$ — середина ребра $B_{1}C_{1}$. Найдите угол между прямыми $AC_{1}$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a$. Пусть $M$ — такая точка на ребре $A_{1}D_{1}$, для которой $A_{1}M:MD_{1}=1:2$. Найдите периметр треугольника $AB_{1}M$, а также расстояние от вершины $A_{1}$ до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.
Ответ:
Решение: