Из последовательности натуральных чисел $1, 2, 3, \ldots$ удалили все точные квадраты (квадраты целых чисел). Какое число будет находиться на $2600$ месте среди оставшихся?
Ответ:
Решение:
Из последовательности натуральных чисел $1, 2, 3, \ldots$ удалили все точные квадраты (квадраты целых чисел). Какое число будет находиться на $2000$ месте среди оставшихся?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $x,y\in[1;8]$, удовлетворяющих равенству \[\sqrt{x x,xxx\ldots}=y,yyy\ldots\] (десятичная запись каждого из чисел $xx,xxx\ldots$ и $y,yyy\ldots$ состоит из бесконечного количества одинаковых цифр).
Ответ:
Решение:
Число $\dfrac{1711}{2011}$ обратили в бесконечную десятичную дробь, затем стёрли первую цифру после запятой и обратили получившуюся десятичную дробь в обыкновенную. Какую дробь получили?
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$ уравнение $\log_2 x+\log_2 x^3+\log_2 x^5+\ldots+\log_2 x^{2n-1}=5040$ имеет рациональное решение?
Ответ:
Решение:
Из последовательности натуральных чисел $1, 2, 3, \ldots$ удалили все точные квадраты (квадраты целых чисел). Какое число будет находиться на 2018 месте среди оставшихся?
Ответ:
Решение:
В периодической десятичной дроби $0{,}242424\ldots$ первую цифру после запятой заменили на 4. Во сколько раз полученное число больше исходного?
Ответ:
Решение:
В квадрате $6\times6$ расставили цифры так, что в верхней строке и левом столбце нет нулей. Всего получилось 12 шестизначных чисел: 6 из горизонтальных строк квадрата (слева-направо) и 6 из вертикальных столбцов квадрата (сверху-вниз). Коля, Вадим и Костя запомнили их, но оказалось, что каждый пропустил одно из 12 чисел. Коля заметил, что каждое из его одиннадцати чисел, делится на 11, Вадим обнаружил, что все его одиннадцать чисел делятся на 7, а Костя нашел у своих одиннадцати чисел общий делитель 13. Исходный квадрат они потеряли, а числа забыли, но им показалось, что где-то среди 12 чисел была комбинация цифр подряд 2021. Могло ли такое быть? Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
На доске написаны три натуральных числа, не превосходящих 40. За один ход можно увеличить любое из написанных чисел на число процентов, равное одному из двух оставшихся чисел, если в результате получится целое число. Существуют ли такие исходные числа, что за несколько ходов одно из чисел на доске можно сделать больше 2011?
Ответ:
Решение:
Можно ли расставить все натуральные числа от $1$ до $2025$ в ряд так, что для любого $k=1,2,\ldots,2025$ сумма первых $k$ чисел в этом ряду нацело делится на $k$-е число в ряду?
Ответ:
Решение:
Маша, скучая на уроке математики, проделала с некоторым 2015-значным натуральным числом следующую операцию: от десятичной записи этого числа она отбросила последнюю цифру и к умноженному на 3 получившемуся числу прибавила удвоенную отброшенную цифру. С полученным числом она опять проделала ту же операцию и так далее. После многократного применения этой операции получающиеся у Маши числа перестали меняться, и тогда она остановилась.
а) Какое число оказалось у Маши в конце?
б) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние цифры)?
а) Какое число оказалось у Маши в конце?
б) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние цифры)?
Ответ:
Решение:
Дана последовательность $x_n=n(n+1)$. Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами $k$ и $l$ ($l\lt 350\lt k$) делится на $5^9$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $l+k$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что при любых натуральных значениях $n$ число $5^n\left(2^{2n}-3^n\right)+2^n-7^n$ делится нацело на 65.
Ответ:
Решение:
Все члены бесконечной геометрической прогрессии являются натуральными числами. Сумма третьего, пятого и седьмого членов этой прогрессии равна $819\cdot6^{2016}$. Найдите знаменатель прогрессии.
Ответ:
Решение:
Существует ли натуральное число, делящееся на 2020, в котором всех цифр $0, 1, 2, \ldots, 9$ поровну?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Все натуральные числа, бо́льшие единицы, раскрасили в два цвета — синий и красный — так, что сумма любых двух синих (в том числе одинаковых) — синяя, а произведение любых двух красных (в том числе одинаковых) — красное. Известно, что при раскрашивании были использованы оба цвета и что число $1024$ покрасили в синий цвет. Какого цвета при этом могло оказаться число $2017$?
Ответ:
Решение:
По кругу в некотором порядке расставлены все натуральные числа от 1 до 1000 таким образом, что каждое из чисел является делителем суммы двух своих соседей. Известно, что рядом с числом $k$ стоят два нечётных числа. Какой чётности может быть число $k$?
Ответ:
Решение:
На сколько нулей оканчивается число \[ \Bigl(1\underbrace{00\ldots0}_{2017}1\Bigr)^{2017}-1\,? \]
Ответ:
Решение:
Написаны 2017 чисел. Известно, что сумма квадратов любых 7 из них равна 7, сумма любых 11 из них положительна, а сумма всех 2017 чисел делится на 9. Найдите эти числа.
Ответ:
Решение: