Через одну вершину трапеции проведены две прямые. Одна из них проходит также через противоположную вершину трапеции и делит отрезок, соединяющий середины её оснований, в отношении $3:1$. В каком отношении делит этот отрезок другая прямая, делящая площадь трапеции пополам?
Ответ:
Решение:
Серединами оснований $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ являются точки $K$ и $L$ соответственно. Известно, что $AD=10\cdot BC$. На боковых сторонах $AB$ и $CD$ взяты соответственно точки $M$ и $N$ так, что прямая $MN$ параллельна основаниям трапеции. При каком значении отношения $AM:MB$ сумма площадей треугольников $BKN$ и $MNL$ будет наибольшей?
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC=4$ и $AD=12$, угол $ADC$ равен $67{,}5^\circ$. Найдите площадь трапеции, если известно, что биссектриса угла $CAD$ делит отрезок $CD$ пополам.
Ответ:
Решение:
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а боковые стороны образуют угол $30^\circ$. Основания имеют длины $6$ и $2$. Найдите высоту трапеции.
Ответ:
Решение:
Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ такова, что $AC=BC+AD$, а один из углов между прямыми $AC$ и $BD$ равен $60^\circ$. Докажите, что $ABCD$ — равнобокая трапеция.
Ответ:
Решение:
В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD\gt BC$) боковая сторона равна $20$ см, угол $BAC$ равен $45^\circ$. Пусть $O$ — центр окружности, описанной вокруг $ABCD$. Оказалось, что прямые $OD$ и $AB$ перпендикулярны. Найдите длину основания $AD$ трапеции.
Ответ:
Решение:
В трапецию $ABCD$ вписана окружность, касающаяся боковой стороны $AD$ в точке $K$. Найдите площадь трапеции, если $AK=16$, $DK=4$ и $CD=6$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=a$ и $BC=b$. Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно, причём отрезок $MN$ параллелен основаниям трапеции. Диагональ $AC$ пересекает этот отрезок в точке $O$. Найдите $MN$, если известно, что площади треугольников $AMO$ и $CNO$ равны.
Ответ:
Решение:
Дана равнобокая трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Докажите, что острый угол между диагоналями не больше чем $60^\circ$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ точки $K$, $N$, $M$ принадлежат отрезку $BC$, $BK=KN=MC=1$, а точки $L$, $O$, $P$, $Q$ принадлежат отрезку $AD$, $AL=LO=PO=QP=QD=3$. Прямые $BC$ и $AD$ параллельны. Точка $K$ соединена с точками $A$, $L$, $O$, $P$, $Q$, $D$. Точка $L$ соединена с точками $B$, $K$, $N$, $M$, $C$. Докажите, что точки пересечения прямых $BL$ и $AK$, $KO$ и $LN$, $KQ$ и $LC$ лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка этой прямой между боковыми сторонами трапеции.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом её основании. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 12 см, а длины биссектрис — 15 см и 13 см.
Ответ:
Решение:
Площадь трапеции равна 24. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, если диагонали трапеции равны 6 и 10.
Ответ:
Решение:
В равнобедренной трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$) окружность касается основания $BC$, боковых сторон $AB$ и $CD$ и проходит через точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Найти радиус окружности, если $AD:BC=9:7$, а площадь трапеции $S=8$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC$ и площадью, равной 2, прямые $BC$ и $AD$ касаются окружности диаметром $\sqrt{2}$ в точках $B$ и $D$ соответственно. Боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ пересекают окружность в точках $M$ и $N$ соответственно. Длина $MN$ равна 1. Найти величину угла $MBN$ и длину основания $AD$.
Ответ:
Решение:
Высота равнобедренной трапеции $ABCD$ равна 16, а её диагонали пересекаются в точке $O$. Окружность радиуса 3 с центром в точке $O$ касается меньшего основания $BC$ и боковой стороны $CD$ трапеции. Найти основания трапеции.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны $a$ и $b$ соответственно, угол $BCD$ равен $\alpha$. Окружность, проходящая через точки $B$, $C$ и $D$, касается прямой $AB$. Найти радиус этой окружности.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $K$. Точки $P$ и $Q$ — центры описанных окружностей треугольников $ABD$ и $BCD$. Докажите, что $\angle PKA=\angle QKD$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольной трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) угол $A$ равен $60^\circ$. На стороне $CD$ выбирается точка $K$ так, что $\angle BKC=30^\circ$, при этом $AD=CD$. Прямая $BN$ пересекает сторону $CD$ в точке $N$, а отрезки $AK$ и $BN$ пересекаются в точке $P$. Найдите величину угла $DPB$ в градусах, если $KN:ND=2\sin\angle BDC$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ точка $M$ — середина боковой стороны $CD$. Лучи $BD$ и $BM$ делят угол $ABC$ на три равные части. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $BAD$. Найдите углы трапеции.
Ответ:
Решение:
Равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ такова, что $\angle ADC=2\angle CAD=82^\circ$. Внутри трапеции выбрана точка $T$ так, что $CT=CD$, $AT=TD$. Найдите $\angle TCD$. Ответ дайте в градусах.
Ответ:
Решение: