Треугольники

Дан треугольник, вырезанный из бумаги. Объяснить, как, не пользуясь чертёжными инструментами, найти точку пересечения его биссектрис.

Дан треугольник, вырезанный из бумаги. Объяснить, как, не пользуясь чертёжными инструментами, найти точку пересечения срединных перпендикуляров к его сторонам. (Срединный перпендикуляр к отрезку — прямая, проходящая через его середину перпендикулярно данному отрезку).

Из прозрачного листа бумаги вырезан круг. Объясните, как, не используя чертёжных инструментов, найти центр этого круга.

Приведите пример неравностороннего треугольника, который можно (двумя линиями реза) разрезать на три равных треугольника.

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CK$, причем $AC>BC$. Доказать, что угол $AKC$ — тупой.

В треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$, причем $\angle BAH > \angle CAH$. Какая сторона больше, $AB$ или $AC$?

Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении $1 : 5$.‍ Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении $1 : 2$.‍ Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ на гипотенузу опущена высота $CH$. $AH=16$, $BH=9$. Найти катеты и площадь треугольника $ABC$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ на гипотенузу опущена высота $CH$. $\displaystyle AH=\frac{32}{5}$, $\displaystyle BH=\frac{18}{5}$. Найти катеты и площадь треугольника $ABC$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ на гипотенузу опущена высота $CH$. $\displaystyle AH=\frac{144}{13}$, $\displaystyle BH=\frac{25}{13}$. Найти катеты и площадь треугольника $ABC$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ на гипотенузу опущена высота $CH$. $\displaystyle AH=\frac{225}{17}$, $\displaystyle BH=\frac{64}{17}$. Найти катеты и площадь треугольника $ABC$.

Найти катеты прямоугольного треугольника и его площадь, если один из катетов в 3 раза больше другого, а гипотенуза равна 10.

Найти катеты прямоугольного треугольника и его площадь, если один из катетов в 2 раза больше другого, а гипотенуза равна 5.

Найти катеты прямоугольного треугольника и его площадь, если один из катетов в 4 раза больше другого, а гипотенуза равна 17.

Найти катеты прямоугольного треугольника и его площадь, если один из катетов в 2 раза больше другого, а гипотенуза равна 15.

Найти площадь прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен $3$, а проекция другого катета на гипотенузу равна $\displaystyle \frac{16}{5}$.

Найти площадь прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен $12$, а проекция другого катета на гипотенузу равна $\displaystyle \frac{25}{13}$.

Найти площадь прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен $8$, а проекция другого катета на гипотенузу равна $\displaystyle \frac{18}{5}$.

Найти площадь прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен $20$, а проекция другого катета на гипотенузу равна $9$.