Задачами этого раздела проверяются следующие умения: умение составить уравнение прямой на плоскости (например, уравнение прямой, параллельной или перпендикулярной данной); найти координаты точки пересечения прямых; найти расстояние от данной точки до прямой; а также умение оперировать направляющим и нормальным вектором прямой, чтобы находить угол между прямыми.
Прямые $y=ax+b$, $y=bx+c$, $y=cx+d$, $y=dx+a$ ограничивают квадрат. Чему может равняться площадь этого квадрата (укажите все возможности)?
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости проведена прямая $ax+by+c=0$, где $a$, $b$, $c$ — некоторые положительные числа. Известно, что эта прямая касается окружности $x^2+y^2=1$. Докажите, что если взять три отрезка с длинами $a$, $b$, $c$, то из них можно сложить прямоугольный треугольник.
Ответ:
Решение:
Для каждой пары различных натуральных чисел $a$ и $b$, не больших 20, Петя нарисовал на доске прямую $y=ax+b$ (то есть он нарисовал прямые \[\begin{gathered} y=x+2,\quad \ldots,\quad y=x+20,\\ y=2x+1,\quad y=2x+3,\quad \ldots,\quad y=2x+20,\\ y=3x+1,\quad y=3x+2,\quad y=3x+4,\quad \ldots,\quad y=3x+20,\\ \ldots,\\ y=20x+1,\quad \ldots,\quad y=20x+19). \end{gathered}\] Вася нарисовал на той же доске окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Сколько Петиных прямых пересекает Васину окружность?
Ответ:
Решение:
Написать уравнения касательных к окружности $(x-4)^2+(y-2)^2=5$, проходящих через точку $(-1;~-3)$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнения касательных к окружности $(x-4)^2+(y-2)^2=10$, проходящих через точку $(9;~-3)$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнения касательных к окружности $(x-4)^2+(y-2)^2=5$, проходящих через точку $(-1;~7)$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнения касательных к окружности $(x-4)^2+(y-2)^2=10$, проходящих через точку $(-1;~7)$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнение окружности, вписанной в треугольник с вершинами в точках $A(-2;~-1)$, $B(-6;~7)$, $C(4;~2)$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнение окружности, вписанной в треугольник с вершинами в точках $A(0;~2)$, $B(3;~-4)$, $C(-5;~-8)$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнение окружности, вписанной в треугольник с вершинами в точках $A(-7;~4)$, $B(1;~8)$, $C(-4;~-2)$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнение окружности, вписанной в треугольник с вершинами в точках $A(2;~5)$, $B(6;~-3)$, $C(-4;~2)$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнение окружности, описанной около треугольника с вершинами в точках $A(-9;~-3)$, $B(-3;~9)$, $C(6;~2)$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнение окружности, описанной около треугольника с вершинами в точках $A(-10;~2)$, $B(-6;~8)$, $C(5;~5)$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнение окружности, описанной около треугольника с вершинами в точках $A(-5;~-2)$, $B(2;~5)$, $C(4;~1)$.
Ответ:
Решение:
Написать уравнение окружности, описанной около треугольника с вершинами в точках $A(-6;~1)$, $B(-1;~6)$, $C(2;~-3)$.
Ответ:
Решение:
Найти координаты точки, симметричной точке $A(1;~8)$ относительно:
а) точки $O(-2;~1)$,
б) прямой $x-3y+3=0$.
а) точки $O(-2;~1)$,
б) прямой $x-3y+3=0$.
Ответ:
Решение:
Найти координаты точки, симметричной точке $A(-3;~7)$ относительно:
а) точки $O(4;~2)$,
б) прямой $x-2y+2=0$.
а) точки $O(4;~2)$,
б) прямой $x-2y+2=0$.
Ответ:
Решение:
Найти координаты точки, симметричной точке $A(-5;~8)$ относительно:
а) точки $O(3;~2)$,
б) прямой $3x-y+3=0$.
а) точки $O(3;~2)$,
б) прямой $3x-y+3=0$.
Ответ:
Решение:
Найти координаты точки, симметричной точке $A(-5;~7)$ относительно:
а) точки $O(-4;~1)$,
б) прямой $2x-y+2=0$.
а) точки $O(-4;~1)$,
б) прямой $2x-y+2=0$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: