Вдоль южного берега бескрайнего моря цепочкой раскинулся архипелаг из бесконечного количества островов. Острова соединены бесконечной цепочкой мостов, и каждый остров соединён мостом с берегом. В случае сильного землетрясения каждый мост независимо от других с вероятностью $p=0{,}5$ разрушается. Какова вероятность того, что после сильного землетрясения с первого острова можно будет перебраться по сохранившимся мостам на берег?
Ответ:
Решение:
На плоскости 20 точек были попарно связаны между собой отрезками (рёбрами) — каждая точка с каждой другой. Затем случайным образом выбрали 35 рёбер и удалили их. Найдите вероятность того, что получившийся граф связен (то есть из любой точки можно дойти до любой другой по рёбрам).
Такую конструкцию, состоящую из точек и отрезков (прямых или кривых линий), связывающих некоторые из точек, в математике называют графом. Точки называют вершинами, а отрезки — рёбрами графа.
Такую конструкцию, состоящую из точек и отрезков (прямых или кривых линий), связывающих некоторые из точек, в математике называют графом. Точки называют вершинами, а отрезки — рёбрами графа.
Ответ:
Решение:
Однажды где-то на дорожке в городском парке Рассеянный Ученый обронил очки. Он попытался их найти, но стало только хуже, — во-первых, он не помнит, где он потерял очки, а во-вторых, он уже не знает, где он сейчас. Но тут ему повстречались его юные друзья Валя и Коля.
— Ерунда, — сказал Коля. Мы сейчас быстро обежим парк и вернемся сюда же к вам. Валя пройдет ровно по разу по некоторым дорожкам, а я — ровно по разу по всем остальным. И мы обязательно найдем ваши очки. Только никуда не уходите!
— Ах, друзья мои! Как жаль, что у вас ничего не выйдет! — воскликнул Ученый.
— Как не выйдет? Мы обязательно их найдем!
— Очки вы, может, и найдете. Но вы не сможете по разу пройти по всем дорожкам и при этом вернуться сюда.
Прав ли Ученый? Если да, объясните почему. Если не прав, то покажите, как можно обойти парк двумя разными путями из какой-нибудь точки, пройдя по всем дорожкам ровно по разу и вернувшись в исходную точку.
— Ерунда, — сказал Коля. Мы сейчас быстро обежим парк и вернемся сюда же к вам. Валя пройдет ровно по разу по некоторым дорожкам, а я — ровно по разу по всем остальным. И мы обязательно найдем ваши очки. Только никуда не уходите!
— Ах, друзья мои! Как жаль, что у вас ничего не выйдет! — воскликнул Ученый.
— Как не выйдет? Мы обязательно их найдем!
— Очки вы, может, и найдете. Но вы не сможете по разу пройти по всем дорожкам и при этом вернуться сюда.
Прав ли Ученый? Если да, объясните почему. Если не прав, то покажите, как можно обойти парк двумя разными путями из какой-нибудь точки, пройдя по всем дорожкам ровно по разу и вернувшись в исходную точку.
Ответ:
Решение:
Руководство компании пригласило на празднование Нового Года шесть иностранных гостей. Их нужно рассадить за двухместные столики так, чтобы сидящие за одним столиком могли разговаривать на языке, известном обоим. По-французски говорят Арман, Вивьен и Жером, по-английски — Базилио, Гарри и Жером, по-испански — Базилио, Вивьен и Дамиан. Других языков никто из них не знает. Как рассадить этих шестерых? Придумайте хотя бы один способ.
Ответ:
Решение:
У одного островного племени есть обычай — во время ритуального танца шаман подбрасывает высоко вверх три тонких прямых прута одинаковой длины, связанных в подобие буквы П. Соседние прутья связаны короткой ниткой и поэтому свободно вращаются друг относительно друга. Прутья падают на песок, образуя случайную фигуру. Если получается самопересечение (первый и третий прутья перекрещиваются), то племя в наступающем году ждут неурожаи и всякие неприятности. Если же самопересечения нет, то год будет удачным — сытным и счастливым. Найдите вероятность того, что на 2017 год прутья напророчат удачу.
Ответ:
Решение:
Есть два одинаковых карандашных грифеля длиной по 10 см. Каждый грифель ломается в одном случайном месте. Какова вероятность того, что найдутся два обломка, сумма длин которых не меньше 18 см?
Ответ:
Решение:
Мария Ивановна и Марфа Петровна весь день варили компот в огромных кастрюлях и разливали его по трёхлитровым банкам. В конце дня у каждой осталось какое-то количество компота, которого не хватает на еще одну трёхлитровую банку. Какова вероятность того, что если Мария Ивановна и Марфа Петровна сольют остатки компота вместе, то у них окажется не менее 4 литров компота?
Ответ:
Решение:
Осенью Ольга Павловна сварила варенье в огромной кастрюле. Соседка Ольги Павловны Мария Петровна сделала то же самое. И кастрюля у неё даже больше, чем у Ольги Павловны. Варенье Ольга Павловна разливала по литровым банкам до тех пор, пока в кастрюле не осталось меньше литра. И Мария Петровна сделала то же самое. Какова вероятность того, что если Мария Петровна и Ольга Павловна сольют остатки своего варенья вместе, то они смогут заполнить ещё одну литровую банку, а на полуторалитровую банку им варенья не хватит?
Ответ:
Решение:
Однажды в октябре Никита глянул на часы, висящие на стене, и увидел, что на циферблате уснули четыре мухи. Первая спала в точности на отметке 12, а остальные так же точно расположились на цифрах 3, 6 и 9.
— Надо же! Красиво! — восхитился Никита и даже пожалел мух, заметив, что часовая стрелка мухам не грозит, а вот минутная обязательно сметёт их всех по очереди.
Найдите вероятность того, что ровно через 20 минут после того, как Никита глянул на часы, две мухи уже были сметены.
— Надо же! Красиво! — восхитился Никита и даже пожалел мух, заметив, что часовая стрелка мухам не грозит, а вот минутная обязательно сметёт их всех по очереди.
Найдите вероятность того, что ровно через 20 минут после того, как Никита глянул на часы, две мухи уже были сметены.
Ответ:
Решение:
Для тестирования новой программы компьютер выбирает случайное действительное число $A$ из отрезка $[1;2]$ и заставляет программу решать уравнение $3x+A=0$. Найдите вероятность того, что корень этого уравнения меньше, чем $-0{,}4$.
Ответ:
Решение:
Аня, Боря и Вася решили пойти на «Ёлку». Они договорились встретиться на автобусной остановке, но не знают, кто во сколько придет. Каждый из них может прийти в случайный момент времени с 15.00 до 16.00. Вася самый терпеливый из всех: если он придет и на остановке не будет ни Ани, ни Бори, то он будет ждать кого-нибудь из них 15 минут, и если никого не дождется, пойдет на «Ёлку» один. Боря менее терпеливый: он будет ждать лишь 10 минут. Аня самая нетерпеливая: она вообще не будет ждать. Однако если Боря и Вася встретятся, то они будут ждать Аню до 16.00. Какова вероятность того, что на «Ёлку» они пойдут все вместе?
Ответ:
Решение:
Расследуя одно дело, следователь Башковицкий обнаружил, что ключевой свидетель — тот из семьи Петровых, кто в тот роковой день пришёл домой прежде прочих. Расследование выявило следующие факты.
1. Соседка Марья Кузьминична хотела одолжить у Петровых соли, звонила им в дверь, но никто не открыл. Во сколько? Да кто ж знает? Темно уж было…
2. Галина Ефимовна Петрова, придя вечером домой, обнаружила обоих детей на кухне, а мужа на диване — у него болела голова.
3. Муж Анатолий Иванович заявил, что как пришёл, сразу лёг на диван и задремал, никого не видел, ничего не слышал, соседка точно не приходила — звонок бы его разбудил.
4. Дочь Светлана сказала, что, вернувшись домой, сразу ушла к себе в комнату, про отца ничего не знает, но в прихожей, как всегда, споткнулась о Димкин ботинок.
5. Дмитрий когда пришёл — не помнит, отца не видел, а как Светка ругалась из-за ботинка — слышал.
— Ага, — задумался Башковицкий. — Какова же вероятность того, что Дмитрий вернулся домой раньше отца?
1. Соседка Марья Кузьминична хотела одолжить у Петровых соли, звонила им в дверь, но никто не открыл. Во сколько? Да кто ж знает? Темно уж было…
2. Галина Ефимовна Петрова, придя вечером домой, обнаружила обоих детей на кухне, а мужа на диване — у него болела голова.
3. Муж Анатолий Иванович заявил, что как пришёл, сразу лёг на диван и задремал, никого не видел, ничего не слышал, соседка точно не приходила — звонок бы его разбудил.
4. Дочь Светлана сказала, что, вернувшись домой, сразу ушла к себе в комнату, про отца ничего не знает, но в прихожей, как всегда, споткнулась о Димкин ботинок.
5. Дмитрий когда пришёл — не помнит, отца не видел, а как Светка ругалась из-за ботинка — слышал.
— Ага, — задумался Башковицкий. — Какова же вероятность того, что Дмитрий вернулся домой раньше отца?
Ответ:
Решение:
Коля хочет купить мороженое, подходит к киоску и видит записку «Перерыв на 15 минут». Валя, которая стоит у киоска, сказала, что пришла ровно семь минут назад и объявление уже висело. Какова вероятность того, что Коле придется ждать продавца не более 5 минут? Перерыв действительно длится ровно 15 минут.
Ответ:
Решение:
На остановке около дома Рассеянного Учёного останавливаются автобусы двух маршрутов: № 152 и № 251. Оба они идут к станции метро. Интервал между автобусами № 152 ровно 5 минут, а интервал между автобусами 251-го маршрута ровно 7 минут. Интервалы строго соблюдаются, но между собой эти два маршрута не согласованы и их расписания не зависят друг от друга. В совершенно случайный момент времени Рассеянный Учёный приходит на остановку и садится в первый же подошедший автобус, чтобы доехать до метро. Какова вероятность того, что Учёный сядет в автобус № 251?
Ответ:
Решение:
Ровно в полдень Анна Кузьминична выглянула в окно и увидела как Клава, продавщица сельпо, уходит на перерыв. В две минуты первого Анна Кузьминична снова посмотрела в окно — перед закрытым магазином еще никого не было. Клава отсутствовала ровно 10 минут, а когда она вернулась, нашла, что перед дверью топчутся Иван и Фома, очевидно, пришедший позже Ивана. Найдите вероятность того, что Фоме пришлось ждать открытия магазина не более 4 минут.
Ответ:
Решение:
Коля и Женя договорились встретиться в метро в первом часу дня. Коля приходит на место встречи между полуднем и часом дня, ждет 10 минут и уходит. Женя поступает точно так же.
а) Какова вероятность того, что они встретятся?
б) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти раньше половины первого, а Коля по-прежнему — между полуднем и часом?
в) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти в произвольное время с 12.00 до 12.50, а Коля по-прежнему между 12.00 и 13.00?
а) Какова вероятность того, что они встретятся?
б) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти раньше половины первого, а Коля по-прежнему — между полуднем и часом?
в) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти в произвольное время с 12.00 до 12.50, а Коля по-прежнему между 12.00 и 13.00?
Ответ:
Решение:
Рассеянный Ученый проводит собеседование со Студентом.
— Ну-с, молодой человек, проверим вашу везучесть. Я дам Вам число 1 и еще два совершенно случайных и независимых друг от друга числа из отрезка $[0;\,a]$, где $a\gt 0$. Я возьму Вас ассистентом, только если Вы построите треугольник, длины сторон которого равны трем имеющимся у Вас числам. Так и быть, число $a$ Вы вольны выбрать сами.
Какое число должен назвать Студент, чтобы вероятность существования такого треугольника оказалась наибольшей?
— Ну-с, молодой человек, проверим вашу везучесть. Я дам Вам число 1 и еще два совершенно случайных и независимых друг от друга числа из отрезка $[0;\,a]$, где $a\gt 0$. Я возьму Вас ассистентом, только если Вы построите треугольник, длины сторон которого равны трем имеющимся у Вас числам. Так и быть, число $a$ Вы вольны выбрать сами.
Какое число должен назвать Студент, чтобы вероятность существования такого треугольника оказалась наибольшей?
Ответ:
Решение:
Ломаная на плоскости составлена из трех одинаковых отрезков. Ее крайние звенья случайным образом повернуты относительно центрального звена. Найдите вероятность того, что крайние звенья пересекаются.
Ответ:
Решение:
На каменистой дороге Рассеянный Ученый проколол колесо автомобиля сразу в трех совершенно случайных и независимых точках. Серьезный ремонт невозможен, но, к счастью, в багажнике нашлась старая довольно рваная колесная камера. Ученый сумел вырезать из нее большой неповрежденный кусок, которым можно накрыть пробитую шину изнутри на $\frac{2}{3}$ ее длины или даже чуть больше.
а) Докажите, что Ученый сможет разместить вырезанный кусок камеры внутри шины так, что все три прокола будут закрыты.
б) Какова вероятность того, что шину можно разрезать на три равные по длине части, на каждой из которых будет ровно один прокол? (Под разрезом здесь понимается разрез полуплоскостью, проходящей через ось колеса, то есть шину следует представлять как окружность, разрезанную на три равные дуги.)
а) Докажите, что Ученый сможет разместить вырезанный кусок камеры внутри шины так, что все три прокола будут закрыты.
б) Какова вероятность того, что шину можно разрезать на три равные по длине части, на каждой из которых будет ровно один прокол? (Под разрезом здесь понимается разрез полуплоскостью, проходящей через ось колеса, то есть шину следует представлять как окружность, разрезанную на три равные дуги.)
Ответ:
Решение:
Башня в замке короля Артура увенчана крышей, которая представляет собой треугольную пирамиду, у которой все плоские углы при вершине — прямые. Три ската крыши покрашены в разные цвета. Красный скат крыши наклонен к горизонтали под углом $\alpha$, а синий — под углом $\beta$. Найдите вероятность того, что дождевая капля, вертикально упавшая на крышу в случайном месте, упала на зеленый скат.
Ответ:
Решение: