Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < \frac{\pi}{2}; \\
& -a\cos x, \quad\text{если}~\frac{\pi}{2}\leqslant x < \frac{3\pi}{2}; \\
& 0, \quad\text{если}~x\geqslant\frac{3\pi}{2}.
\end{aligned}\right.$$
Найти значение $a>0$, при котором функция такого вида может быть плотностью распределения некоторой случайной величины.
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
в) Вычислить вероятность $P\{\pi/4 \leqslant X \leqslant \pi\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
в) Вычислить вероятность $P\{\pi/4 \leqslant X \leqslant \pi\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& kx, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& k(x-2)^2, \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\
& 0, \quad\text{если}~x\geqslant2.
\end{aligned}\right.$$
Найти значение $k$, при котором функция такого вида может быть плотностью распределения некоторой случайной величины.
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
в) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
в) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{x}{10}, \quad\text{если}~0\leqslant x < 4; \\
& \frac{10-2x}{5}, \quad\text{если}~4\leqslant x < 5; \\
& 0, \quad\text{если}~x\geqslant5.
\end{aligned}\right.$$
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $F(x)$ непрерывная и $F(x\geqslant5)=1$.
в) Вычислить вероятность $P\{2 \leqslant X \leqslant 4{,}5\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $F(x)$ непрерывная и $F(x\geqslant5)=1$.
в) Вычислить вероятность $P\{2 \leqslant X \leqslant 4{,}5\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{2x}{15}, \quad\text{если}~0\leqslant x < 3; \\
& \frac{5-x}{5}, \quad\text{если}~3\leqslant x < 5; \\
& 0, \quad\text{если}~x\geqslant5.
\end{aligned}\right.$$
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $F(x)$ непрерывная и $F(x\geqslant5)=1$.
в) Вычислить вероятность $P\{1{,}5 \leqslant X \leqslant 4\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $F(x)$ непрерывная и $F(x\geqslant5)=1$.
в) Вычислить вероятность $P\{1{,}5 \leqslant X \leqslant 4\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения:
$$f(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{2x}{3}, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& \frac{3-x}{3}, \quad\text{если}~1\leqslant x < 3; \\
& 0, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $F(x)$ непрерывная и $F(x\geqslant3)=1$.
в) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $F(x)$ непрерывная и $F(x\geqslant3)=1$.
в) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана своей функцией распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{7}{20} x^2, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& -\frac{1}{20}(4x^2-22x+11), \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\
& -\frac{1}{20}(3x^2-18x+7), \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\
& 1, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
а) Найти выражение для плотности распределения $f(x)$ и построить график плотности распределения.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана своей функцией распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{3}{20} x^2, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& \frac{1}{20}(4x^2-2x+1), \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\
& -\frac{1}{20}(7x^2-42x+43), \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\
& 1, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
а) Найти выражение для плотности распределения $f(x)$ и построить график плотности распределения.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана своей функцией распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{1}{8} x^2, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& \frac{1}{8}(2x^2-2x+1), \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\
& -\frac{1}{8}(3x^2-18x+19), \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\
& 1, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
а) Найти выражение для плотности распределения $f(x)$ и построить график плотности распределения.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана своей функцией распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{3}{8} x^2, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& -\frac{1}{8}(2x^2-10x+5), \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\
& -\frac{1}{8}(x^2-6x+1), \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\
& 1, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
а) Найти выражение для плотности распределения $f(x)$ и построить график плотности распределения.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана своей функцией распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{3}{10} x^2, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& -\frac{1}{10}(x^2-8x+4), \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\
& -\frac{1}{5}(x^2-6x+4), \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\
& 1, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
а) Найти выражение для плотности распределения $f(x)$ и построить график плотности распределения.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана своей функцией распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{2}{5} x^2, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& -\frac{1}{10}(3x^2-14x+7), \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\
& -\frac{1}{10}(x^2-6x-1), \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\
& 1, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
а) Найти выражение для плотности распределения $f(x)$ и построить график плотности распределения.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана своей функцией распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{1}{10} x^2, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& \frac{1}{10}(3x^2-4x+2), \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\
& -\frac{1}{5}(2x^2-12x+13), \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\
& 1, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
а) Найти выражение для плотности распределения $f(x)$ и построить график плотности распределения.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
Непрерывная случайная величина $X$ задана своей функцией распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac15 x^2, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& \frac{1}{10}(x^2+2x-1), \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\
& -\frac{1}{10}(3x^2-18x+17), \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\
& 1, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
а) Найти выражение для плотности распределения $f(x)$ и построить график плотности распределения.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.
Ответ:
Решение:
В партии из 250 деталей ровно 30 бракованных. Из этой партии случайно выбирают 10 деталей.
а) Какова вероятность, что не менее восьми из них окажутся бракованными?
б) Во сколько раз вероятность того, что ровно две детали бракованные, больше вероятности того, что бракованных деталей ровно шесть?
в) Какова вероятность, что хотя бы одна деталь окажется не бракованной?
а) Какова вероятность, что не менее восьми из них окажутся бракованными?
б) Во сколько раз вероятность того, что ровно две детали бракованные, больше вероятности того, что бракованных деталей ровно шесть?
в) Какова вероятность, что хотя бы одна деталь окажется не бракованной?
Ответ:
Решение:
Трое десятиклассников — Алексей, Александр и Антон — сдают устный зачёт по геометрии. Вероятность того, что Алексей сдаст зачёт, равна $0{,}4$, сдаст Александр — $0{,}6$, сдаст Антон — $0{,}9$. Известно, что зачёт сдали ровно двое из них. Какова вероятность, что Алексей сдал зачёт?
Ответ:
Решение:
В партии из 250 деталей ровно 20 бракованных. Из этой партии случайно выбирают 10 деталей.
а) Какова вероятность, что не менее 8 из них окажутся бракованными?
б) Во сколько раз вероятность того, что ровно четыре детали бракованные, больше вероятности того, что бракованных деталей ровно шесть?
в) Какова вероятность, что хотя бы одна деталь окажется бракованной?
а) Какова вероятность, что не менее 8 из них окажутся бракованными?
б) Во сколько раз вероятность того, что ровно четыре детали бракованные, больше вероятности того, что бракованных деталей ровно шесть?
в) Какова вероятность, что хотя бы одна деталь окажется бракованной?
Ответ:
Решение:
Случайная величина задана рядом распределения: $$X \sim \begin{pmatrix}-3 & a & 1 & b & 7 \\ 0{,}2 & 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}1 \end{pmatrix}.$$ Найти $a$ и $b$, если математическое ожидание равно $E[X]=1{,}1$, дисперсия равна $D[X]=8{,}89$
Ответ:
Решение:
В лифт 26-этажного дома на первом этаже вошли 7 человек. Будем считать, что никто из них не выйдет тут же на первом этаже, и каждый может с одинаковой вероятностью и независимо от других выйти на любом этаже с 2-го по 26-й. При этих условиях:
а) Вычислить, во сколько раз вероятность того, что на 5-м этаже выйдет ровно двое из них, больше вероятности того, что на 5-м этаже выйдут ровно трое.
б) Найти вероятность того, что на 5-м этаже выйдут хотя бы двое.
а) Вычислить, во сколько раз вероятность того, что на 5-м этаже выйдет ровно двое из них, больше вероятности того, что на 5-м этаже выйдут ровно трое.
б) Найти вероятность того, что на 5-м этаже выйдут хотя бы двое.
Ответ:
Решение: