В графе нет петель и кратных ребер, а вершин на 10 меньше, чем ребер. Какое наименьшее количество циклов может быть в таком графе?
Ответ:
Решение:
На столе из одинаковых спичек выложили 16 маленьких шестиугольников, как показано на рисунке.
В самой левой вершине получившегося графа сидит муравей М, а в точке Г снаружи сидит гусеница. Муравей умеет ползать только по спичкам, а гусеница не умеет переползать через спички. Сколько спичек нужно убрать, чтобы гусеница могла проползти в центр любого шестиугольника, а муравей мог доползти до любой вершины любого шестиугольника?
В самой левой вершине получившегося графа сидит муравей М, а в точке Г снаружи сидит гусеница. Муравей умеет ползать только по спичкам, а гусеница не умеет переползать через спички. Сколько спичек нужно убрать, чтобы гусеница могла проползти в центр любого шестиугольника, а муравей мог доползти до любой вершины любого шестиугольника?
Ответ:
Решение:
В графе 8 вершин, нет петель, и две любые вершины были связаны единственным ребром (такой граф называется полным). Выбрали 11 случайных рёбер и удалили их. Найдите вероятность того, что получившийся граф по-прежнему связный (то есть найдется путь между любыми двумя вершинами). Результат округлите до тысячных.
Ответ:
Решение:
На межплеменную конференцию прибыли делегации трех племен: Мумба, Юмба и Джумба. В делегации Мумба шесть членов, каждый из них знает всех своих соплеменников, а на конференции познакомился с семью членами других делегаций. В делегации Юмба 11 членов, каждый из них знает всех своих соплеменников и на конференции познакомился с двумя членами других делегаций. В делегации Джумба каждый знает всех своих соплеменников и познакомился с четырьмя членами других делегаций. Какое наименьшее количество членов может быть в делегации племени Джумба?
Ответ:
Решение:
Вдоль южного берега бескрайнего моря цепочкой раскинулся архипелаг из бесконечного количества островов. Острова соединены бесконечной цепочкой мостов, и каждый остров соединён мостом с берегом. В случае сильного землетрясения каждый мост независимо от других с вероятностью $p=0{,}5$ разрушается. Какова вероятность того, что после сильного землетрясения с первого острова можно будет перебраться по сохранившимся мостам на берег?
Ответ:
Решение:
На плоскости 20 точек были попарно связаны между собой отрезками (рёбрами) — каждая точка с каждой другой. Затем случайным образом выбрали 35 рёбер и удалили их. Найдите вероятность того, что получившийся граф связен (то есть из любой точки можно дойти до любой другой по рёбрам).
Такую конструкцию, состоящую из точек и отрезков (прямых или кривых линий), связывающих некоторые из точек, в математике называют графом. Точки называют вершинами, а отрезки — рёбрами графа.
Такую конструкцию, состоящую из точек и отрезков (прямых или кривых линий), связывающих некоторые из точек, в математике называют графом. Точки называют вершинами, а отрезки — рёбрами графа.
Ответ:
Решение:
Однажды где-то на дорожке в городском парке Рассеянный Ученый обронил очки. Он попытался их найти, но стало только хуже, — во-первых, он не помнит, где он потерял очки, а во-вторых, он уже не знает, где он сейчас. Но тут ему повстречались его юные друзья Валя и Коля.
— Ерунда, — сказал Коля. Мы сейчас быстро обежим парк и вернемся сюда же к вам. Валя пройдет ровно по разу по некоторым дорожкам, а я — ровно по разу по всем остальным. И мы обязательно найдем ваши очки. Только никуда не уходите!
— Ах, друзья мои! Как жаль, что у вас ничего не выйдет! — воскликнул Ученый.
— Как не выйдет? Мы обязательно их найдем!
— Очки вы, может, и найдете. Но вы не сможете по разу пройти по всем дорожкам и при этом вернуться сюда.
Прав ли Ученый? Если да, объясните почему. Если не прав, то покажите, как можно обойти парк двумя разными путями из какой-нибудь точки, пройдя по всем дорожкам ровно по разу и вернувшись в исходную точку.
— Ерунда, — сказал Коля. Мы сейчас быстро обежим парк и вернемся сюда же к вам. Валя пройдет ровно по разу по некоторым дорожкам, а я — ровно по разу по всем остальным. И мы обязательно найдем ваши очки. Только никуда не уходите!
— Ах, друзья мои! Как жаль, что у вас ничего не выйдет! — воскликнул Ученый.
— Как не выйдет? Мы обязательно их найдем!
— Очки вы, может, и найдете. Но вы не сможете по разу пройти по всем дорожкам и при этом вернуться сюда.
Прав ли Ученый? Если да, объясните почему. Если не прав, то покажите, как можно обойти парк двумя разными путями из какой-нибудь точки, пройдя по всем дорожкам ровно по разу и вернувшись в исходную точку.
Ответ:
Решение:
Однажды где-то на дорожке в городском парке Рассеянный Ученый обронил очки. Он попытался их найти, но стало только хуже, — во-первых, он не помнит, где он потерял очки, а во-вторых, он уже не знает, где он сейчас. Но тут ему повстречались его юные друзья Валя и Коля.
— Ерунда, — сказал Коля. Мы сейчас быстро обежим парк и вернемся сюда же к вам. Валя пройдет ровно по разу по некоторым дорожкам, а я — ровно по разу по всем остальным. И мы обязательно найдем ваши очки. Только никуда не уходите!
— Ах, друзья мои! Как жаль, что у вас ничего не выйдет! — воскликнул Ученый.
— Как не выйдет? Мы обязательно их найдем!
— Очки вы, может, и найдете. Но вы не сможете по разу пройти по всем дорожкам и при этом вернуться сюда.
Прав ли Ученый? Если да, объясните почему. Если не прав, то покажите, как можно обойти парк двумя разными путями из какой-нибудь точки, пройдя по всем дорожкам ровно по разу и вернувшись в исходную точку.
— Ерунда, — сказал Коля. Мы сейчас быстро обежим парк и вернемся сюда же к вам. Валя пройдет ровно по разу по некоторым дорожкам, а я — ровно по разу по всем остальным. И мы обязательно найдем ваши очки. Только никуда не уходите!
— Ах, друзья мои! Как жаль, что у вас ничего не выйдет! — воскликнул Ученый.
— Как не выйдет? Мы обязательно их найдем!
— Очки вы, может, и найдете. Но вы не сможете по разу пройти по всем дорожкам и при этом вернуться сюда.
Прав ли Ученый? Если да, объясните почему. Если не прав, то покажите, как можно обойти парк двумя разными путями из какой-нибудь точки, пройдя по всем дорожкам ровно по разу и вернувшись в исходную точку.
Ответ:
Решение:
Руководство компании пригласило на празднование Нового Года шесть иностранных гостей. Их нужно рассадить за круглым шестиместным столом так, чтобы любые двое, сидящие рядом, могли разговаривать на языке, известном обоим. По-французски говорят Арман, Вивьен и Жером, по-английски — Базилио, Гарри и Жером, по-испански — Базилио, Вивьен и Дамиан. Других языков никто из них не знает. Как рассадить этих шестерых? Придумайте хотя бы один способ.
Ответ:
Решение:
Руководство компании пригласило на празднование Нового Года шесть иностранных гостей. Их нужно рассадить за двухместные столики так, чтобы сидящие за одним столиком могли разговаривать на языке, известном обоим. По-французски говорят Арман, Вивьен и Жером, по-английски — Базилио, Гарри и Жером, по-испански — Базилио, Вивьен и Дамиан. Других языков никто из них не знает. Как рассадить этих шестерых? Придумайте хотя бы один способ.
Ответ:
Решение:
У одного островного племени есть обычай — во время ритуального танца шаман подбрасывает высоко вверх три тонких прямых прута одинаковой длины, связанных в подобие буквы П. Соседние прутья связаны короткой ниткой и поэтому свободно вращаются друг относительно друга. Прутья падают на песок, образуя случайную фигуру. Если получается самопересечение (первый и третий прутья перекрещиваются), то племя в наступающем году ждут неурожаи и всякие неприятности. Если же самопересечения нет, то год будет удачным — сытным и счастливым. Найдите вероятность того, что на 2017 год прутья напророчат удачу.
Ответ:
Решение:
Есть два одинаковых карандашных грифеля длиной по 10 см. Каждый грифель ломается в одном случайном месте. Какова вероятность того, что найдутся два обломка, сумма длин которых не меньше 18 см?
Ответ:
Решение:
Мария Ивановна и Марфа Петровна весь день варили компот в огромных кастрюлях и разливали его по трёхлитровым банкам. В конце дня у каждой осталось какое-то количество компота, которого не хватает на еще одну трёхлитровую банку. Какова вероятность того, что если Мария Ивановна и Марфа Петровна сольют остатки компота вместе, то у них окажется не менее 4 литров компота?
Ответ:
Решение:
Осенью Ольга Павловна сварила варенье в огромной кастрюле. Соседка Ольги Павловны Мария Петровна сделала то же самое. И кастрюля у неё даже больше, чем у Ольги Павловны. Варенье Ольга Павловна разливала по литровым банкам до тех пор, пока в кастрюле не осталось меньше литра. И Мария Петровна сделала то же самое, а потом она съела ровно половину варенья, оставшегося у неё в кастрюле. Какова вероятность того, что если после этого Мария Петровна и Ольга Павловна сольют остатки своего варенья вместе, то смогут заполнить ещё одну литровую банку?
Ответ:
Решение:
Осенью Ольга Павловна сварила варенье в огромной кастрюле. Соседка Ольги Павловны Мария Петровна сделала то же самое. И кастрюля у неё даже больше, чем у Ольги Павловны. Варенье Ольга Павловна разливала по литровым банкам до тех пор, пока в кастрюле не осталось меньше литра. И Мария Петровна сделала то же самое. Какова вероятность того, что если Мария Петровна и Ольга Павловна сольют остатки своего варенья вместе, то они смогут заполнить ещё одну литровую банку, а на полуторалитровую банку им варенья не хватит?
Ответ:
Решение:
Однажды в октябре Никита глянул на часы, висящие на стене, и увидел, что на циферблате уснули четыре мухи. Первая спала в точности на отметке 12, а остальные так же точно расположились на цифрах 3, 6 и 9.
— Надо же! Красиво! — восхитился Никита и даже пожалел мух, заметив, что часовая стрелка мухам не грозит, а вот минутная обязательно сметёт их всех по очереди.
Найдите вероятность того, что ровно через 20 минут после того, как Никита глянул на часы, две мухи уже были сметены.
— Надо же! Красиво! — восхитился Никита и даже пожалел мух, заметив, что часовая стрелка мухам не грозит, а вот минутная обязательно сметёт их всех по очереди.
Найдите вероятность того, что ровно через 20 минут после того, как Никита глянул на часы, две мухи уже были сметены.
Ответ:
Решение:
Для тестирования новой программы компьютер выбирает случайное действительное число $A$ из отрезка $[1;2]$ и заставляет программу решать уравнение $6x+A=0$. Найдите вероятность того, что корень этого уравнения больше, чем $-0{,}25$.
Ответ:
Решение:
Для тестирования новой программы компьютер выбирает случайное действительное число $A$ из отрезка $[1;2]$ и заставляет программу решать уравнение $3x+A=0$. Найдите вероятность того, что корень этого уравнения меньше, чем $-0{,}4$.
Ответ:
Решение:
Аня, Боря и Вася решили пойти на «Ёлку». Они договорились встретиться на автобусной остановке, но не знают, кто во сколько придет. Каждый из них может прийти в случайный момент времени с 15.00 до 16.00. Вася самый терпеливый из всех: если он придет и на остановке не будет ни Ани, ни Бори, то он будет ждать кого-нибудь из них 15 минут, и если никого не дождется, пойдет на «Ёлку» один. Боря менее терпеливый: он будет ждать лишь 10 минут. Аня самая нетерпеливая: она вообще не будет ждать. Однако если Боря и Вася встретятся, то они будут ждать Аню до 16.00. Какова вероятность того, что на «Ёлку» они пойдут все вместе?
Ответ:
Решение:
Расследуя одно дело, следователь Башковицкий обнаружил, что ключевой свидетель — тот из семьи Петровых, кто в тот роковой день пришёл домой прежде прочих. Расследование выявило следующие факты.
1. Соседка Марья Кузьминична хотела одолжить у Петровых соли, звонила им в дверь, но никто не открыл. Во сколько? Да кто ж знает? Темно уж было…
2. Галина Ефимовна Петрова, придя вечером домой, обнаружила обоих детей на кухне, а мужа на диване — у него болела голова.
3. Муж Анатолий Иванович заявил, что как пришёл, сразу лёг на диван и задремал, никого не видел, ничего не слышал, соседка точно не приходила — звонок бы его разбудил.
4. Дочь Светлана сказала, что, вернувшись домой, сразу ушла к себе в комнату, про отца ничего не знает, но в прихожей, как всегда, споткнулась о Димкин ботинок.
5. Дмитрий когда пришёл — не помнит, отца не видел, а как Светка ругалась из-за ботинка — слышал.
— Ага, — задумался Башковицкий. — Какова же вероятность того, что Дмитрий вернулся домой раньше отца?
1. Соседка Марья Кузьминична хотела одолжить у Петровых соли, звонила им в дверь, но никто не открыл. Во сколько? Да кто ж знает? Темно уж было…
2. Галина Ефимовна Петрова, придя вечером домой, обнаружила обоих детей на кухне, а мужа на диване — у него болела голова.
3. Муж Анатолий Иванович заявил, что как пришёл, сразу лёг на диван и задремал, никого не видел, ничего не слышал, соседка точно не приходила — звонок бы его разбудил.
4. Дочь Светлана сказала, что, вернувшись домой, сразу ушла к себе в комнату, про отца ничего не знает, но в прихожей, как всегда, споткнулась о Димкин ботинок.
5. Дмитрий когда пришёл — не помнит, отца не видел, а как Светка ругалась из-за ботинка — слышал.
— Ага, — задумался Башковицкий. — Какова же вероятность того, что Дмитрий вернулся домой раньше отца?
Ответ:
Решение: