Многочлен $P(x)$ таков, что многочлены $P(P(x))$ и $P(P(P(x)))$ строго монотонны на всей вещественной оси. Докажите, что $P(x)$ тоже строго монотонен на всей вещественной оси.
Ответ:
Решение:
Функции $f(x)$ и $g(x)$ определены на множестве действительных значений и принимают действительные значения. Также известно, что $f(x)$ и $g(x)$ взаимно обратны, при этом значения функций $f(x)$ и $y=\dfrac{x}{2}$ во всех точках отличаются меньше чем на 5. Уравнение $g(x)=25-x^2$ имеет целый корень. Найдите все возможные значения этого корня. Напомним, что функции $f(x)$ и $g(x)$, определённые на множестве действительных значений и принимающие действительные значения, являются взаимно обратными, если $f(g(x))=g(f(x))=x$ для всех действительных $x$.
Ответ:
Решение:
Функция $f(x)$ определена для всех действительных чисел, причём для любого $x$ выполняются равенства $f(x+2)=f(2-x)$ и $f(x+7)=f(7-x)$. Докажите, что $f(x)$ — периодическая функция.
Ответ:
Решение: