В ящике 2009 носков — синих и красных. Может ли синих носков быть столько, чтобы вероятность вытащить наудачу два носка одного цвета была равна $0{,}5$?
Ответ:
Решение:
На новогоднюю елку повесили 100 лампочек в ряд. Затем лампочки стали переключаться по следующему алгоритму: зажглись все, через секунду погасла каждая вторая лампочка, еще через секунду каждая третья лампочка переключилась: если горела, то погасла и наоборот. Через секунду каждая четвертая лампочка переключилась, еще через секунду — каждая пятая и так далее. Через 100 секунд все закончилось. Найдите вероятность того, что случайно выбранная после этого лампочка горит (лампочки не перегорают и не бьются).
Ответ:
Решение:
В финал конкурса спектаклей к 8 марта вышли два спектакля. В первом играли $n$ учеников 5 класса А, а во втором — $n$ учеников 5 класса Б. На спектакле присутствовали $2n$ мам всех $2n$ учеников. Лучший спектакль выбирается голосованием мам. Известно, что ровно половина мам честно голосует за лучший спектакль, а другая половина в любом случае голосует за спектакль, в котором участвует её ребенок.
а) Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит с перевесом голосов.
б) Тот же вопрос, если в финал вышло больше двух спектаклей.
а) Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит с перевесом голосов.
б) Тот же вопрос, если в финал вышло больше двух спектаклей.
Ответ:
Решение:
Вася написал на листке бумаги записку, сложил ее вчетверо, надписал сверху «МАМЕ» (см. фото). Затем он развернул записку, дописал еще кое-что, опять сложил записку по линиям сгиба случайным образом (не обязательно, как раньше) и опять оставил на столе, положив случайной стороной вверх. Найдите вероятность того, что надпись «МАМЕ» по-прежнему сверху.
Ответ:
Решение:
У Алисы в кармане шесть волшебных пирожков — два увеличивающих (съешь — вырастешь), а остальные уменьшающие (съешь — уменьшишься). Когда Алиса встретила Мэри Энн, она, не глядя, вынула из кармана три пирожка и отдала их Мэри. Найдите вероятность того, что у одной из девочек нет ни одного увеличивающего пирожка.
Ответ:
Решение:
Максим пойдёт в первый класс 1 сентября 2014 года в возрасте 6 лет, и этот день не будет днём его рождения. Какова вероятность того, что он родился в 2008 году?
Ответ:
Решение:
У Федоры Егоровны есть 3 чайные чашки. Однажды она их вымыла и начала новую жизнь. Каждый раз, чтобы выпить чаю, Федора берёт наудачу какую-нибудь чашку, а потом ставит её к остальным, но уже не моет. Найдите вероятность того, что во время пятого чаепития с момента начала новой жизни Федора Егоровна использует последнюю чистую чашку.
Ответ:
Решение:
В выпуклом шестиугольнике независимо друг от друга выбраны две случайные диагонали. Найдите вероятность того, что эти диагонали пересекаются внутри шестиугольника (внутри — то есть не в вершине).
Ответ:
Решение:
На соревнования приехали 10 теннисисток, из них 4 из России. По правилам для проведения первого тура теннисистки разбиваются на пары случайным образом. Найдите вероятность того, что в первом туре все россиянки будут играть только с россиянками.
Ответ:
Решение:
В классе не больше 40 человек, и среди них есть те, кого зовут Коля. Вероятность того, что случайно выбранный ученик выше всех Коль, равна $\frac{2}{5}$, а вероятность того, что случайно выбранный ученик ниже всех Коль, равна $\frac{3}{7}$. Какое наибольшее количество Коль может быть в классе?
Ответ:
Решение:
Как известно, друг и компаньон Робинзона Крузо получил имя Пятница по той причине, что встретились они в какую-то пятницу. Это было в январе, а вот в каком году — установить уже невозможно. Робинзон уверен лишь в том, что с равными шансами это могло случиться в любой год, начиная с 1668-го и заканчивая 1671-ым. Робинзон и Пятница свято чтили день своей встречи и торжественно отмечали его каждый год. Каким днём недели мог оказаться день одиннадцатой годовщины их встречи? С какой вероятностью?
Ответ:
Решение:
На 9 карточках написаны цифры от 1 до 9 — по одной на каждой карточке. Из них выбрали три случайные карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получившееся трёхзначное число делится на 3?
Ответ:
Решение:
В билете лотереи «6 из 45» всего 45 натуральных чисел. Из этих 45 чисел участник лотереи должен выбрать комбинацию, в которой ровно 6 чисел. Два участника независимо друг от друга выбирают свои комбинации. Какова вероятность того, что в их комбинациях окажется ровно одно общее число?
Ответ:
Решение:
В двух коробках лежали конфеты белого и тёмного шоколада одинаковой формы, причём вероятность достать наудачу белую конфету из первой коробки была равна $\frac{4}{7}$, а из второй — $\frac{3}{5}$. Все конфеты ссыпали в один мешок, хорошо перемешали и теперь из мешка достают одну случайную конфету. Три математика делают прогнозы.
Первый: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{7}{12}$».
Второй: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{11}{19}$».
Третий: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{19}{35}$».
Кто из математиков может оказаться прав, а кто не может? Объясните ответ.
Первый: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{7}{12}$».
Второй: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{11}{19}$».
Третий: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{19}{35}$».
Кто из математиков может оказаться прав, а кто не может? Объясните ответ.
Ответ:
Решение:
Из натуральных чисел от 1 до $n$ нужно выбрать $k$ различных $(k\lt n)$. Программист предлагает следующий алгоритм. 1. Все числа располагают по кругу (в вершинах $n$-угольника). 2. Первое число выбирается случайным образом. 3. Каждое следующее число выбирается независимо от предыдущих. Если оно совпало с каким-то из уже выбранных, следует двигаться по часовой стрелке до первого невыбранного числа.
В конце концов, получается $k$ различных чисел.
а) Верно ли, что появление каждого конкретного числа в такой выборке равновероятно?
б) Верно ли, что появление всех выборок равновероятно?
В конце концов, получается $k$ различных чисел.
а) Верно ли, что появление каждого конкретного числа в такой выборке равновероятно?
б) Верно ли, что появление всех выборок равновероятно?
Ответ:
Решение:
В День города в парке всем посетителям раздавали леденцы — жёлтые и красные. Сначала в коробке у волонтёра было 800 жёлтых леденцов и 1200 красных. Каждому желающему волонтёр даёт один или два случайно выбранных леденца. В какой-то момент леденцы одного из цветов закончились. Какова вероятность того, что все оставшиеся в коробке леденцы красные?
Ответ:
Решение:
В группе 8 российских туристов. Трое из них говорят по-английски, а двое других — по-испански. Остальные говорят только по-русски. Группу случайным образом разбивают на две подгруппы по 4 человека в каждой. С какой вероятностью в каждой подгруппе найдётся кто-нибудь, кто говорит по-английски, и кто-нибудь, кто говорит по-испански?
Ответ:
Решение:
Двое играют в «пасхальный бой яиц». Перед ними большая корзина с яйцами. Они наугад берут по яйцу и ударяют их друг о друга. Одно из яиц разбивается, побеждённый берёт новое яйцо, а победитель сохраняет своё яйцо для следующего раунда (исход каждого раунда зависит только от того, у какого яйца скорлупа прочнее; победившее яйцо сохраняет свою прочность). Известно, что первый игрок победил в первых десяти раундах. Какова вероятность того, что он же победит и в следующем раунде?
Ответ:
Решение:
Круговой турнир по анчурийским шашкам проводится в несколько туров. Все игроки разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то один случайный игрок остается без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое. Они играют между собой последнюю партию, которая выявляет победителя турнира.
В Анчурию на шашечный турнир приехало 27 участников, причем все играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Известно, что игроку Денису в первом туре не досталось пары. Какова вероятность того, что Денис станет победителем турнира?
В Анчурию на шашечный турнир приехало 27 участников, причем все играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Известно, что игроку Денису в первом туре не досталось пары. Какова вероятность того, что Денис станет победителем турнира?
Ответ:
Решение:
У Маши в корзинке 15 подосиновиков и 12 белых грибов. Маша не глядя достаёт из корзинки по одному грибу. Подосиновики Маша откладывает в одну кучку, а белые — в другую. В какой-то момент Маша взяла из корзинки последний белый гриб. Какова вероятность того, что в этот момент в корзинке осталось ровно 3 подосиновика?
Ответ:
Решение: