Первоначальное знакомство с векторами на плоскости. Сложение векторов, умножение вектора на число.
Векторы $\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3,\vec a_4$, расположенные в одной плоскости с вектором $\vec b$, имеют равную длину, отличную от длины вектора $\vec b$. Известно, что $\vec a_2+\vec b-2\vec a_1=8\vec a_4+\vec b-9\vec a_3=\vec 0$, $|\vec a_3-\vec b|=8$. Найдите $|\vec a_1-\vec b|$.
Ответ:
Решение:
На окружности с равными интервалами расположены 5 точек $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$. Даны два вектора $\overrightarrow{DA}=\vec a$, $\overrightarrow{DB}=\vec b$. Выразите вектор $\overrightarrow{EC}$ через $\vec a$ и $\vec b$.
Ответ:
Решение:
Нано-лягушка, перемещаясь по плоскости, может делать два вида действий: прыгать в направлении взгляда ровно на 1 метр и изменять направление взгляда на угол, кратный 45 градусам.
а) Докажите, что таким образом нано-лягушка может приблизиться к любой точке плоскости на расстояние, не превосходящее 1 нанометра.
б) Может ли нано-лягушка, перемещаясь таким образом, удалиться от точки, в которой она первоначально находилась, ровно на $2{,}5$ метра?
а) Докажите, что таким образом нано-лягушка может приблизиться к любой точке плоскости на расстояние, не превосходящее 1 нанометра.
б) Может ли нано-лягушка, перемещаясь таким образом, удалиться от точки, в которой она первоначально находилась, ровно на $2{,}5$ метра?
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$. Найдите какие-нибудь семь попарно неравных векторов с концами и началами в точках $A$, $B$, $C$, $D$, $O$, сумма которых равна нулевому вектору. Объясните свой ответ.
Ответ:
Решение: