Множество, состоящее из $n$ последовательных натуральных чисел, назовём отрезком натурального ряда длиной $n$.
Из некоторого отрезка натурального ряда длиной $n$ случайным образом выбирают 15 чисел. При каком $n$ окажется наибольшей вероятность того, что среди выбранных окажутся числа 21, 190 и 2025?
Из некоторого отрезка натурального ряда длиной $n$ случайным образом выбирают 15 чисел. При каком $n$ окажется наибольшей вероятность того, что среди выбранных окажутся числа 21, 190 и 2025?
Ответ:
Решение:
Алиса и Василиса коллекционируют наклейки с персонажами мультфильмов. Всего в коллекции 20 разных персонажей. У Алисы уже есть 14 разных наклеек, а у Василисы — 16. Какова вероятность того, что, объединив свои наклейки, они смогут выбрать из них полную коллекцию? Ответ округлите до тысячных.
Ответ:
Решение:
В лотерейном билете напечатаны номера от 1 до 45. Двое участников лотереи независимо друг от друга зачеркивают в своих билетах по 6 номеров. Первый выбирает номера совершенно случайным образом, а второй следует правилу: среди его номеров должно быть ровно два однозначных числа, при этом чётных и нечётных должно быть поровну. Какова вероятность того, что в их комбинациях окажется ровно один общий зачёркнутый номер? Результат округлите до тысячных.
Ответ:
Решение:
В двух коробках лежали белые и красные шары, причём в первой коробке на 4 белых шара приходилось 3 красных, а во второй коробке на 3 белых шара приходилось 2 красных. Все шары ссыпали в один мешок, хорошо перемешали и теперь из мешка собираются вынуть один случайный шар. Три математика делают прогнозы.
Первый: «Шар окажется белым с вероятностью $\frac{7}{12}$».
Второй: «Шар окажется белым с вероятностью $\frac{11}{19}$».
Третий: «Шар окажется белым с вероятностью $\frac{19}{35}$».
Кто из математиков может оказаться прав?
Первый: «Шар окажется белым с вероятностью $\frac{7}{12}$».
Второй: «Шар окажется белым с вероятностью $\frac{11}{19}$».
Третий: «Шар окажется белым с вероятностью $\frac{19}{35}$».
Кто из математиков может оказаться прав?
Ответ:
Решение:
Понятно, что если взять случайное натуральное число из достаточно длинного отрезка натурального ряда, то вероятность того, что это число будет делиться на 10, будет тем ближе к 0,1, чем длиннее отрезок.
Поставим другой вопрос: насколько сильно эта вероятность может отличаться от 0,1? Она может быть равна 0, если, например, мы задали отрезок 1, 2, 3, где ни одно число не делится на 10. А какова:
а) наибольшая возможная вероятность;
б) минимально возможная ненулевая вероятность?
Поставим другой вопрос: насколько сильно эта вероятность может отличаться от 0,1? Она может быть равна 0, если, например, мы задали отрезок 1, 2, 3, где ни одно число не делится на 10. А какова:
а) наибольшая возможная вероятность;
б) минимально возможная ненулевая вероятность?
Ответ:
Решение:
У Вали есть две правильные игральные кости в форме икосаэдра (икосаэдр — правильный двадцатигранник, см. рисунок).
Валя хочет написать на гранях числа так, чтобы при случайном бросании этих двух икосаэдров сумма выпавших чисел принимала все натуральные значения от 1 до 100 с равными вероятностями. Приведите пример, как Валя может разметить икосаэдры.
Валя хочет написать на гранях числа так, чтобы при случайном бросании этих двух икосаэдров сумма выпавших чисел принимала все натуральные значения от 1 до 100 с равными вероятностями. Приведите пример, как Валя может разметить икосаэдры.
Ответ:
Решение:
Варя и Валя собирают наклейки из творожных сырков. Всего в коллекции 18 разных наклеек. Известно, что сейчас у Вари 12 разных наклеек, а у Вали — только 10 разных наклеек. Какова вероятность того, что если Варя и Валя объединят свои коллекции, то у них вместе получится полная коллекция?
Ответ:
Решение:
У Маши в корзинке 15 подосиновиков и 12 белых грибов. Маша не глядя достаёт из корзинки по одному грибу. Подосиновики Маша откладывает в одну кучку, а белые — в другую. В какой-то момент Маша взяла из корзинки последний белый гриб. Какова вероятность того, что в этот момент в корзинке осталось ровно 3 подосиновика?
Ответ:
Решение:
Круговой турнир по анчурийским шашкам проводится в несколько туров. Все игроки разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то один случайный игрок остается без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое. Они играют между собой последнюю партию, которая выявляет победителя турнира.
В Анчурию на шашечный турнир приехало 27 участников, причем все играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Известно, что игроку Денису в первом туре не досталось пары. Какова вероятность того, что Денис станет победителем турнира?
В Анчурию на шашечный турнир приехало 27 участников, причем все играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Известно, что игроку Денису в первом туре не досталось пары. Какова вероятность того, что Денис станет победителем турнира?
Ответ:
Решение:
Двое играют в «пасхальный бой яиц». Перед ними большая корзина с яйцами. Они наугад берут по яйцу и ударяют их друг о друга. Одно из яиц разбивается, побеждённый берёт новое яйцо, а победитель сохраняет своё яйцо для следующего раунда (исход каждого раунда зависит только от того, у какого яйца скорлупа прочнее; победившее яйцо сохраняет свою прочность). Известно, что первый игрок победил в первых десяти раундах. Какова вероятность того, что он же победит и в следующем раунде?
Ответ:
Решение:
В группе 8 российских туристов. Трое из них говорят по-английски, а двое других — по-испански. Остальные говорят только по-русски. Группу случайным образом разбивают на две подгруппы по 4 человека в каждой. С какой вероятностью в каждой подгруппе найдётся кто-нибудь, кто говорит по-английски, и кто-нибудь, кто говорит по-испански?
Ответ:
Решение:
В День города в парке всем посетителям раздавали леденцы — жёлтые и красные. Сначала в коробке у волонтёра было 800 жёлтых леденцов и 1200 красных. Каждому желающему волонтёр даёт один или два случайно выбранных леденца. В какой-то момент леденцы одного из цветов закончились. Какова вероятность того, что все оставшиеся в коробке леденцы красные?
Ответ:
Решение:
Из натуральных чисел от 1 до $n$ нужно выбрать $k$ различных $(k\lt n)$. Программист предлагает следующий алгоритм. 1. Все числа располагают по кругу (в вершинах $n$-угольника). 2. Первое число выбирается случайным образом. 3. Каждое следующее число выбирается независимо от предыдущих. Если оно совпало с каким-то из уже выбранных, следует двигаться по часовой стрелке до первого невыбранного числа.
В конце концов, получается $k$ различных чисел.
а) Верно ли, что появление каждого конкретного числа в такой выборке равновероятно?
б) Верно ли, что появление всех выборок равновероятно?
В конце концов, получается $k$ различных чисел.
а) Верно ли, что появление каждого конкретного числа в такой выборке равновероятно?
б) Верно ли, что появление всех выборок равновероятно?
Ответ:
Решение:
В двух коробках лежали конфеты белого и тёмного шоколада одинаковой формы, причём вероятность достать наудачу белую конфету из первой коробки была равна $\frac{4}{7}$, а из второй — $\frac{3}{5}$. Все конфеты ссыпали в один мешок, хорошо перемешали и теперь из мешка достают одну случайную конфету. Три математика делают прогнозы.
Первый: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{7}{12}$».
Второй: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{11}{19}$».
Третий: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{19}{35}$».
Кто из математиков может оказаться прав, а кто не может? Объясните ответ.
Первый: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{7}{12}$».
Второй: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{11}{19}$».
Третий: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{19}{35}$».
Кто из математиков может оказаться прав, а кто не может? Объясните ответ.
Ответ:
Решение:
В билете лотереи «6 из 45» всего 45 натуральных чисел. Из этих 45 чисел участник лотереи должен выбрать комбинацию, в которой ровно 6 чисел. Два участника независимо друг от друга выбирают свои комбинации. Какова вероятность того, что в их комбинациях окажется ровно одно общее число?
Ответ:
Решение:
На 9 карточках написаны цифры от 1 до 9 — по одной на каждой карточке. Из них выбрали три случайные карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получившееся трёхзначное число делится на 3?
Ответ:
Решение:
Как известно, друг и компаньон Робинзона Крузо получил имя Пятница по той причине, что встретились они в какую-то пятницу. Это было в январе, а вот в каком году — установить уже невозможно. Робинзон уверен лишь в том, что с равными шансами это могло случиться в любой год, начиная с 1668-го и заканчивая 1671-ым. Робинзон и Пятница свято чтили день своей встречи и торжественно отмечали его каждый год. Каким днём недели мог оказаться день одиннадцатой годовщины их встречи? С какой вероятностью?
Ответ:
Решение:
В классе не больше 40 человек, и среди них есть те, кого зовут Коля. Вероятность того, что случайно выбранный ученик выше всех Коль, равна $\frac{2}{5}$, а вероятность того, что случайно выбранный ученик ниже всех Коль, равна $\frac{3}{7}$. Какое наибольшее количество Коль может быть в классе?
Ответ:
Решение:
На соревнования приехали 10 теннисисток, из них 4 из России. По правилам для проведения первого тура теннисистки разбиваются на пары случайным образом. Найдите вероятность того, что в первом туре все россиянки будут играть только с россиянками.
Ответ:
Решение:
В выпуклом шестиугольнике независимо друг от друга выбраны две случайные диагонали. Найдите вероятность того, что эти диагонали пересекаются внутри шестиугольника (внутри — то есть не в вершине).
Ответ:
Решение: