Какое из чисел больше: \[ \underbrace{\sqrt{17\sqrt{13\sqrt{17\sqrt{13\sqrt{17\ldots}}}}}}_{2018\text{ знаков корня}}\quad\text{или}\quad 17\sqrt[3]{\dfrac{13}{17}}\,? \]
Ответ:
Решение:
Доказать формулу «сложного корня» \[ \sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} \] и с ее помощью вычислить величину $\left(\dfrac{\sqrt{13+\sqrt{48}}-1}{\sqrt{7-\sqrt{24}}+1}\right)^2$.
Ответ:
Решение:
Вычислить $\frac{1580\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}-x}$, где $x=\frac12\left(\sqrt{\frac{2016}{1580}}-\sqrt{\frac{1580}{2016}}\right)$.
Ответ:
Решение:
Сравните число \[ \sqrt{\left|8\sqrt3-16\right|}-\sqrt{8\sqrt3+16} \] и наименьший корень уравнения $4x^2+21x+17=0$.
Ответ:
Решение:
Вычислите \[ \left[\sqrt{45-\sqrt{2023}}-\sqrt{45+\sqrt{2023}}\right], \] где $[t]$ — это целая часть числа $t$ (т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $t$).
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Упростить выражение: $\displaystyle\left(\frac{2\sqrt x}{x\sqrt x+y\sqrt y}+\frac{\sqrt y}{x+y-\sqrt{xy}}\right):\left(\frac{2\sqrt x}{x+y+2\sqrt{xy}}-\frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}+1\right)$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение: $\displaystyle \left(\frac{3}{x-2\sqrt{xy}+y}-\frac{2\sqrt x}{\sqrt x-\sqrt y} \right):\left(\frac{4y-3}{2(y+\sqrt{xy})}+\frac{3}{2(\sqrt{xy}-y)}-2\right)$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение: $\displaystyle\left(\frac{\sqrt x}{x\sqrt x-y\sqrt y}+\frac{1}{x-y}\right):\left(\frac{x+\sqrt{xy}}{x+y+\sqrt{xy}}+1\right)$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение: $\displaystyle \left(\frac{2}{x-2\sqrt{xy}+y}+\frac{3}{y-x}\right)\left(\frac{64y\sqrt y}{\sqrt x-5\sqrt y}+13y+2\sqrt{xy}+x\right)$.
Ответ:
Решение:
Вычислить: $\displaystyle\frac{49}{\sqrt{10-2\sqrt{21}}+\sqrt3}+\frac{7}{\sqrt5+\sqrt{12-2\sqrt{35}}}$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение: $\displaystyle \left(\frac{1}{x-y}-\frac{4\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}-\frac{\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}\right):\left(1+\frac{8x-1}{x+2\sqrt{xy}+y}-\frac{5\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}\right)$.
Ответ:
Решение:
Вычислить: $\displaystyle\frac{10}{\sqrt{8-\sqrt{60}}+\sqrt3}+\frac{5}{\sqrt7-\sqrt{12-\sqrt{140}}}$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение: $\displaystyle \frac{x^{-2}-2(xy)^{-1}-y^{-2}}{x^{-2}-y^{-2}}:\frac{x^2+2xy-y^2}{x^2-y^2}$.
Ответ:
Решение: