Найдите все функции $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, удовлетворяющие при всех $x,y\in\mathbb{R}$ уравнению\[2(f(x)+f(y))=\max\left\{2f(x+y);\ x-y;\ y-x\right\}.\]
Ответ:
Решение:
Функция $f(x)$, заданная на всей числовой оси, при всех действительных $x$ и $y$ удовлетворяет условию \[f(x)+f(y)=2f\left(\frac{x+y}{2}\right)f\left(\frac{x-y}{2}\right).\] Верно ли, что функция $f(x)$ обязательно чётная?
Ответ:
Решение:
В каждой точке $A$ плоскости стоит вещественное число $f(A)$. Известно, что если $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, то $f(M)=f(A)+f(B)+f(C)$. Докажите, что $f(A)=0$ для всех точек $A$.
Ответ:
Решение:
Функция $f(x)$ определена на множестве натуральных чисел и принимает натуральные значения. Известно, что для любого натурального $n$ выполнено \[f(n+1)\gt f(n)\quad\text{и}\quad f\bigl(f(n)\bigr)=3n.\]
1. Найдите $f(10)$.
2. Найдите $f(2024)$.
1. Найдите $f(10)$.
2. Найдите $f(2024)$.
Ответ:
Решение: