Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма всех её членов с нечётными номерами на 2 больше, чем сумма всех членов с чётными номерами. А разность между суммой квадратов всех членов на нечётных местах и суммой квадратов всех членов на чётных местах равна $\frac{36}{5}$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если отношение суммы кубов всех её членов к сумме всех членов этой прогрессии равно $\frac{48}{7}$, а отношение суммы четвертых степеней членов к сумме квадратов членов этой прогрессии равно $\frac{144}{17}$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $p$, при каждом из которых числа $p-2$, $2\sqrt{p}$ и $-3-p$ являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $p$, при каждом из которых числа $4p+5$, $2p$ и $|p-3|$ являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии.
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может иметь знаменатель геометрической прогрессии $b_1,b_2,\ldots$, если число $5$ является корнем уравнения $b_{10}x^9+\ldots+b_3x^2+b_2x+b_1=0$?
Ответ:
Решение:
Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна $19$, а сумма их квадратов равна $741$. Какое наибольшее значение может принимать сумма их кубов?
Ответ:
Решение:
Известно, что сумма первых $12$ членов геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел, равна $3003$, а сумма обратных величин первых $12$ членов этой прогрессии равна $1001$. Найдите произведение первых $12$ членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма шести первых членов геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел, в 344 раза больше суммы трех ее первых членов. Найдите знаменатель прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если её второй член равен 3, а сумма первых трёх её членов равна 13.
Ответ:
Решение:
Сумма пяти первых членов геометрической прогрессии равна 93, а сумма следующих пяти членов равна 2976. Найдите сумму первых семи членов прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $b_1, b_2, b_3, \ldots$ равна 60, сумма квадратов членов этой прогрессии равна 1200. Найдите сумму новой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_1$, а знаменатель отличается от знаменателя исходной геометрической прогрессии только знаком.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма её членов, взятых через один, начиная со второго, равна 2, а сумма её членов, взятых через один, начиная с третьего, равна 1.
Ответ:
Решение:
Дана возрастающая геометрическая прогрессия $b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots$ Известно, что \[ b_2+b_4=10,\quad b_4^2-b_2^2=60. \] Чему равен пятый член прогрессии?
Ответ:
Решение:
При каком натуральном значении $n$ числа $n$, $n+15$, $46n-30$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?
Ответ:
Решение:
Произведение второго и шестого членов геометрической прогрессии, все члены которой положительны, равно $\displaystyle\frac{256}{729}$, а отношение седьмого и третьего членов равно $\displaystyle\frac{256}{81}$. Найти сумму первых шести членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Третий член геометрической прогрессии равен $\displaystyle\frac{4}{9}$, а пятый равен $\displaystyle\frac{64}{81}$. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Ответ:
Решение:
Произведение второго и пятого членов геометрической прогрессии, все члены которой положительны, равно $\displaystyle\frac{8}{243}$, а отношение десятого и шестого членов равно $\displaystyle\frac{16}{81}$. Найти сумму первых семи членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Третий член геометрической прогрессии равен $\displaystyle\frac{2}{9}$, а шестой равен $\displaystyle\frac{16}{243}$. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Ответ:
Решение:
Произведение второго и шестого членов геометрической прогрессии, все члены которой положительны, равно отношению 40-го и 36-го членов и равно $\displaystyle\frac{81}{16}$. Найти сумму первых восьми членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Третий член геометрической прогрессии равен $\displaystyle\frac{3}{2}$, а пятый равен $\displaystyle\frac{27}{8}$. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Ответ:
Решение: